合肥市2019届高三调研性检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{}12M x x =-<<，{}13N x x =≤≤，则M N =(A)(]1,3- (B)(]1,2- (C)[)1,2 (D)(]2,3 (2)已知复数122iz i-=-(i 为虚数单位)，则||z = (A)15 (B)35 (C)45(D)1(3)右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为2和3.若从右图内随机取一点，则该点取自阴影区域的概率为(A)23 (B)89(C)1213 (D)2425(4)已知实数x y ，满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的取值范围是(A)26 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， (B)20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， (C)[)6 -+∞，(D)[)0 +∞， (5)已知直线:50l x y +-=与圆222:(2)(1)(0)C x y r r -+-=>相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r =(A)2 (B)2 (C)22 (D)4(6)执行右面的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是 (A)4?i < (B)5?i < (C)6?i < (D)7?i <(7)已知tan 3α=，则sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为(A)310 (B)310- (C)35(D)35-(8)已知双曲线2222:1(00)x y M a b a b-=>>，的焦距为4，两条渐近线的夹角为60o ，则双曲线M 的标准方程是(A)2213x y -= (B)2213x y -=或2213y x -=(C)221124x y -= (D)221124x y -=或221412x y -=(9)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于(A)488π+ (B)484π+ (C)648π+ (D)644π+(10)若将函数()()()2cos 1cos 1cos f x x x x =+-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递减区间为(A)()2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， (B)() 2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，(C)()11 844k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， (D)()11 484k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，(11)已知函数()2cos x x f x e e x -=++，其中e 为自然对数的底数，则对任意a R ∈，下列不等式一定成立的是(A)()()212f a f a +≥ (B)()()212f a f a +≤ (C)()()211f a f a +≥+ (D)()()21f a f a +≤ (12)在ABC ∆中，90o CAB ∠=，1AC =，3AB =.将ABC ∆绕BC 旋转至另一位置P (点A 转到点P )，如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点. 若32AE =，则AB 与平面ADE 所成角的正弦值是(A)38 (B)36 (C)34(D)33第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上相应的位置.(13)若a 与b 的夹角为135o ，1a =，2b =，则a b +=__________.(14)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*12n n S S n N +=∈，则10a = .(15)将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在33⨯方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有___________种.(16)已知()241x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，，(其中0a <，e 为自然对数的底数)，若()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦在R 上有三个不同的零点，则a 的取值范围是___________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 各项都是正数，其中3234 a a a a +，，成等差数列，532a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .(18)(本小题满分12分)已知：在ABC ∆中，a b c ，，分别是角A B C ，，所对的边长，()0cos cos a bA C A+=+.(Ⅰ)判断ABC ∆的形状；(Ⅱ)若6C π=，62c =-，求ABC ∆的面积.(19)(本小题满分12分)统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月与2017年6月相比.同比是指本期数据与历史同时期比较，如2017年7月与2016年7月相比.=100%⨯数数环长数本期－上期比增率上期，=100%⨯数数长数本期－同期同比增率同期.下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统计数据：序号x 12345678时间2017年 1月 2017年 2月 2017年 3月 2017年 4月 2017年 5月 2017年 6月 2017年 7月 2017年8月消费者信心指数y107.2108.6 108.4 109.2 112.6 111 113.4 112 910111213141516172017年 9月 2017年 10月 2017年 11月 2017年 12月 2018年 1月 2018年 2月 2018年 3月 2018年 4月 2018年 5月 113.3114.6114.7118.6123.9121.3122.6122.3124(Ⅰ)(ⅰ)求该地区2018年5月消费者信心指数的同比增长率(百分比形式下保留整数)； (ⅱ)除2017年1月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？(Ⅱ)由以上数据可判断，序号x 与该地区消费者信心指数y 具有线性相关关系，写出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+(ˆˆa b ，保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月的消费者信心指数(结果保留1位小数，参考数据与公式：17118068i i i x y =≈∑，17211785ii x==∑，9115x y =≈，，1221ˆni i i ni i x y n x yx nx b ==--∑=∑)(20)(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 中点.(Ⅰ)求证：平面ACG ⊥平面BCE ；(Ⅱ)若3AB BC =，求二面角B CA G --的余弦值.(21)(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)经过点M(2，1)，且离心率32e =.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设A 、B 分别是椭圆C 的上顶点与右顶点，点P 是椭圆C 在第三象限内的一点，直线AP 、BP 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，求四边形AMNB 的面积.(22)(本小题满分12分)已知()()21axx f x e +=(其中a R ∈，e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若12x x ，分别是()f x 的极大值点和极小值点，且12x x >，求证：()()1212f x f x x x +>+.合肥市2019届高三调研性检测数学试题(理科)参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 答案CDCABCBBDAAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)1 (14)256 (15)24 (16))2⎡-⎣，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得233452()32a a a a a +=+⎧⎨=⎩，，，即2311141232.a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∵0n a >，∴0q >，解得12,2.q a =⎧⎨=⎩∴2n n a =. ……………………5分(Ⅱ)由已知得，21222(1)log log log 2n n n n S a a a +=+++=， ∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1111122122311n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦.…………………10分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)()00cos cos cos cos cos cos a b a ba Ab B A C A B A+=⇒+=⇒=+-，∴sin2sin2A B =.∵A B ，是ABC ∆的内角，∴A B =，或2A B π+=，∴ABC ∆为等腰三角形或直角三角形. ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)及6C π=知，ABC ∆为等腰三角形，a b =.根据余弦定理2222cos a b ab C c +-=，得(223843a =-，解得24a =，∴2a =，∴ABC ∆的面积111sin 221222S ab C ==⨯⨯⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)(ⅰ)该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为124112.6100%10%112.6-⨯≈；(ⅱ)由已知环比增长率为负数，即本期数＜上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的环比增长率为负数. ……………………5分(Ⅱ)由已知计算得：17117221ˆ 1.16i ii ii x yn xy bxn x ==-=≈-⋅∑∑，ˆˆ104.56ay bx =-=，∴线性回归方程为ˆ 1.16104.56yx =+. 当18x =时，ˆ125.4y=，即预测该地区2018年6月份消费者信心指数约为125.4. ……………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ，∴CB AG ⊥. 在菱形ABEF 中，60ABE ∠=，可知ABE ∆为等边三角形，G 为BE 中点，∴AG BE ⊥.∵BE CB B =，∴AG ⊥平面BCE .∵AG ⊂平面ACG ，∴平面ACG ⊥平面BCE .…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG AF AD ，，两两垂直，以A 为原点，如图建立空间直角坐标系.设2AB =，则233BC =，()()()230 0 03 0 03131 03A G C B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，. 设()m x y z =，，为平面ABC 的法向量，由00m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3023303x y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取()1 3 0m =，，，同理可求平面ACG 的法向量()0 2 3n =，，， ∴2321cos 727m n m n m n⋅===⨯，，即二面角B CA G --的余弦值等于217.……………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)由椭圆的离心率为32得，32c a =，∴2a b =. 又∵椭圆C 经过点(2，1)，∴224114b b+=，解得22b =，∴椭圆C 的方程为22182x y+=. ……………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，A (0 2，)，B (22 0，).设()00P x y ，，则 直线002:2y AP y x x -=+ ，从而002 02x M y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，； 直线00:(22)22y BP y x x =--，从而00220 22y N x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，. ∴四边形AMNB 的面积00002221122222222y x S AN BM x y ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()222000000000000022244428282224222x y x y x y x y x y x y xy+-++--+==--+--.∵2200182x y +=，∴00000000844282842224x y x y S x y x y +--+==--+. …………………12分(22)(本小题满分12分)(Ⅰ)⑴当0a =时，()()21f x x =+，()f x 的单调增区间是(1)-+∞，，单调减区间是(1)-∞-，；⑵当0a ≠时，()()211axa x x a f x e ⎡⎤⎛⎫-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=.①当0a <时，由()0f x '>解得1x >-或21x a <-；由()0f x '<解得211x a-<<-，∴()f x 的单调增区间是2 1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，和(1)-+∞，，单调减区间是21 1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，； ②当0a >时，由()0f x '>解得211x a-<<-；由()0f x '<解得21x a >-或1x <-，∴()f x 的单调增区间是21 1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，单调减区间是(1)-∞-，和21a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.………5分(Ⅱ)由已知和(Ⅰ)得，当0a >时满足题意，此时121x a=-，21x =-.()()1212f x f x x x +>+22422a e a a-⇔>-22422a e a a -⇔>-2220a e a a -⇔+->.令()222a g a e a a -=+-(0a >)，则()2221a g a e a -'=+-.令()2221a h a e a -=+-(0a >)，则()2220a h a e -'=+>恒成立， ∴()2221a h a e a -=+-(0a >)在(0 )+∞，上单调递增.∵()222132823212110102084422h h e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-<=->-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，， ∴030 8a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使()00h a =，即()020212 a e a -=-*.从而，当0(0)a a ∈，时，()0g a '<；当0()a a ∈+∞，时，()0g a '>，∴()g a 在0(0)a ，上单调递减，在0( )a +∞，上单调递增，∴()022000()2a g a g a e a a -≥=+-，将 (*)式代入得2000()()31g a g a a a ≥=-+.∵20031y a a =-+在30 8⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴2200331313108864a a ⎛⎫-+>-⋅+=> ⎪⎝⎭，∴0()()0g a g a ≥> ，即2220a e a a --+>，∴1212()()f x f x x x +>+. ……………………12分合肥市2019届高三调研性检测数学试题(文科)参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDCDCDBABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)3 (14)2或-1 (15)(] 1-∞，(16)163π三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由36a =，420S =得11262310a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,2.d a =⎧⎨=⎩∴2n a n =. …………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，()()2212n n n S n n +==+，从而()111111n S n n n n ==-++， ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………10分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)由已知得 cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得 sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=， 即()sin 2sin cos A C B B +=.∵A C B π+=-，∴()sin sin A C B +=，∴sin 2sin cos B B B =. 由于sin 0B >，∴1cos 2B =. ∵B ∈(0π，)，∴3B π=. ………………………5分(Ⅱ)由3ABC S B ∆=得1sin 32ac B B =， 由(Ⅰ)知，3B π=，代入上式得2ac =.由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-=，∴()2339a c ac +=+=，∴3a c +=，∴ABC ∆的周长为33………………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)(ⅰ)月销售额在[14 16)，内的频率为()120.030.120.180.070.020.020.12-⨯+++++=； (ⅱ)若70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标.根据频率分布直方图知，[)12 14，和[)14 16，两组频率之和为0.18，月销售额目标应定为0.12162170.24+⨯=(万元)； ………………………5分(Ⅱ)根据直方图可知，销售额为[)22 24，和[]24 26，的频率之和为0.08， 由500.084⨯=可知待选的推销员一共有4人，设这4人分别为1212A A B B ，，，，则4人依次有以下不同的选择：121112A A A B A B ，，；2122A B A B ，；12B B ，一共有6种不同的情况，每一种结果都是等可能的，而4人来自同一组的情况有2种，∴选定的推销员来自同一个小组的概率是2163P ==. ………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，DA AB ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴DA ⊥平面ABEF ，∴DA EG ⊥.在菱形ABEF 中，60AFE ∠=︒，可知AEF ∆为等边三角形，G 为AF中点，∴AF EG ⊥. ∵DA AF A =， ∴EG ⊥平面DAF . ……………………5分(Ⅱ)如图，取AB 的中点为H ，连接EH ，易证EH AB ⊥.由面面垂直的性质可知，EH ⊥平面ABCD ，由(Ⅰ)知，EG ⊥平面DAF ，∴()1339363322BCE ADF E ABCD E ADF V V V ---=+=⨯⨯+=. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)由椭圆的离心率为32得，32c a =，∴2a b =.又∵椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)经过点13 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴2231144b b+=，解得21b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………5分(Ⅱ)设点()()000020 10P x y x y -<<-<<，，.由(Ⅰ)知，()()0 12 0A B ，，，， ∴直线AP 的方程为0011y y x x -=+. 令0y =得，001M xx y =-. 直线BP 的方程为()0022y y x x =--.令0x =得，0022N yy x =-. ∴00000222122y x y AN x x --=-=--，0000022211x x y BM y y --=-=--， ∴()()()200000000002222222121x y x y x y AN BM x y x y ------⋅=⋅=----()220000000000000000004224448442222x y x y x y x y x y x y x y x y x y --+++--+===--+--+，是一个确定的定值.…………………12分(22)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()()2322ln 13f x x x ax =--，∴()24ln 2f x x x ax '=-.由()126f a '=-=-，解得3a =. ………………………5分(Ⅱ)∵12x x ≠，不妨设12x x >，()()()()()()()121212112212202022f x f x f x f x x x f x x f x x x x -+<⇔-+-<⇔+<+-.设()()2g x f x x =+，则()g x 在()1+∞，单调递减，∴()0g x '≤在()1+∞，恒成立. 由(Ⅰ)知，()24ln 2f x x x ax '=-，()24ln 22g x x x ax '=-+，HGFED CB A∴22ln 1x a x x≥+在()1+∞，恒成立. 令()22ln 1x h x x x=+，则()()32ln 1x x x h x x --'=， 令()ln 1F x x x x =--，()ln F x x '=-，∴当()1 x ∈+∞，时，()0F x '<，即()F x 在()1+∞，单调递减，且()()10F x F <=， ∴()0h x '<在()1+∞，恒成立， ∴()h x 在()1+∞，单调递减，且()()11h x h <=， ∴1a ≥． ……………………12分。