高三数学理科仿真模拟卷1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若复数2()iix x x z +-=（x ∈R ）为纯虚数，则x 等于（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）0或1 （2）给出下列三个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立；③对于集合,M N ，若x M N ∈I ，则x M ∈且x N ∈. 其中真命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（A ） （B ） （C ） （D ）（4）极坐标方程02sin =θ（0≥ρ）表示的图形是（A ）两条直线 （B ）两条射线 （C ）圆 （D ）一条直线和一条射线（5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（A（B（C（D（7）△ABC 外接圆的半径为，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ， ||||OA AB =u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u u r u u u r 等于（A ）32（B（C ）3 （D）（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
B（9）251()x x+的展开式中，4x 的系数为 ．（用数字作答）（10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为 ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有人来自公务员的概率为 ．（11）在△ABC 中，若π,4B b ∠==，则C ∠= ． （12）如图，BC 是半径为2的圆O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点，则ABP ∠= ；PB PC ⋅= ．（13）已知点(2,)P t 在不等式组40,30x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为____________．（14）对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）已知πsin()4A +=ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．（16）（本小题共14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，四边形11B BCC 是边长为6的正方形． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ； （Ⅲ）求二面角1C AC D --的余弦值．（17）（本小题共13分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． (18) （本小题共13分）已知函数x a x x f ln )(2-=(R a ∈)． （Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）求)(x f 在[1，e]上的最小值．（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点1(0,)4F 的距离比点P 到x 轴的距离大14，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）证明：曲线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅲ）若曲线C 上存在关于直线对称的两点，求k 的取值范围．（20）（本小题共14分）在单调递增数列}{n a 中，21=a ，不等式n a n )1(+n na 2≥对任意*n ∈N 都成立. （Ⅰ）求2a 的取值范围；（Ⅱ）判断数列}{n a 能否为等比数列？说明理由； （Ⅲ）设11(11)(1)(1)22n n b =+++L ，)211(6n n c -=， 求证：对任意的*n ∈N ，012≥--n nn a c b .参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）B （4）A1（5）D （6）D （7）C （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）10 （10）953 （11）7π12（12）30o 12 （13）4（14）34注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为ππ42A <<，且πsin()4A +=， 所以ππ3π244A <+<，πcos()4A += 因为ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 444444A A A A =+-=+++35=+=． 所以3cos 5A =． ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =． 所以5()cos 2sin sin 2f x x A x =+212sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22x =--+，x ∈R ． 因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =时，()f x 取最大值32； 当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．所以函数()f x 的值域为3[3,]2-． ……………………13分（16）（共14分）（Ⅰ）证明：连结1AC ，与1AC 交于O 点，连结OD ． 因为O ，D 分别为1AC 和BC 的中点，所以OD ∥1A B ．又OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1A B ∥平面1AC D ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ， 所以1BB AD ⊥．因为AB AC =，D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥．又1BC BB B =I ， 所以AD ⊥平面11B BCC ． 又CE ⊂平面11B BCC ，所以AD ⊥CE ．因为四边形11B BCC 为正方形，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点， 所以Rt △CBE ≌Rt △1C CD ，1CC D BCE ∠=∠． 所以190BCE C DC ∠+∠=o ．所以1C D ⊥CE ．又1AD C D D =I ，所以CE ⊥平面1AC D ． ……………………9分 （Ⅲ）解：如图，以11B C 的中点G 为原点，建立空间直角坐标系． 则1(0,6,4),(3,3,0),(3,6,0),(3,0,0)A E C C --．由（Ⅱ）知CE ⊥平面1AC D ，所以(6,3,0)CE =-u u u r为平面1AC D 的一个法向量．设(,,)x y z =n 为平面1ACC 的一个法向量，(3,0,4)AC =--u u u r，1(0,6,0)CC =-u u u u r ．由10,0.AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n 可得340,60.x z y --=⎧⎨-=⎩ 令1x=，则30,4y z ==-． 所以3(1,0,)4=-n ．从而cos ||||CE CE,CE ⋅<>==⋅u u u ru u u r uu u r n n n ． 因为二面角1C AC D --为锐角， 所以二面角1C AC D --．……………………14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9p p +-=， 解得13p =或23p =． 又12p >，所以23p =． …………………6分 （Ⅱ）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．5(2)9P ξ==，5520(4)(1)9981P ξ==-⨯=， 52016(6)198181P ξ==--=，所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望2469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………13分 （18）（共13分）（Ⅰ）证明：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x 时，0)1(2)(2>-='xx x f ，所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ………………5分（Ⅱ）解：)0(2)(2>-='x xax x f ，当[1,e]x ∈，222[2,2e ]x a a a -∈--．若2≤a ，则当x ∈[1,e]时，0)(≥'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是增函数，又1)1(=f ，故函数)(x f 在[1,e]上的最小值为． 若22e a ≥，则当x ∈],1[e 时，0)(≤'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是减函数，又(e)f =2e a -，所以)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -． 若222e a <<，则当21ax <≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；e x <≤时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．又ln 222a a a f =-， 所以)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a-． 综上可知，当2≤a 时，)(x f 在[1,e]上的最小值为1； 当222e a <<时，)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a -； 当22e a ≥时，)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -．………………13分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1(0,)4F 的距离与动点P 到直线14y =-的距离相等． 由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4为焦点，直线14y =-为准线的抛物线．所以曲线C 的方程为2y x =． ………………3分（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2,1,y x y kx ⎧=⎨=+⎩得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02k x =． 因为MN x ⊥轴， 所以N 点的横坐标为2k ． 由2y x =，可得'2y x = 所以当2kx =时，'y k =． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．…………8分 （Ⅲ）解：由已知，0k ≠． 设直线的垂线为'l ：1y x b k=-+． 代入2y x =，可得210x x b k+-= （*） 若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线对称，则34122x x k +=-，342122y y b k +=+又3434(,)22x x y y ++在上，所以211()122b k k k +=-+， 21122b k =-． 由方程（*）有两个不等实根所以21()40b k ∆=+>，即221220k k+->所以212k<，解得k <k > ………………13分 （20）（共14分）（Ⅰ）解：因为}{n a 是单调递增数列，所以12a a >，22>a .令1=n ，12a 2a ≥，42≤a ，所以(]4,22∈a . ………………4分（Ⅱ）证明：数列}{n a 不能为等比数列.用反证法证明：假设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，021>=a ，12-=n n q a . 因为}{n a 单调递增，所以1>q . 因为*n ∈N ，n a n )1(+n na 2≥都成立. 所以*n ∈N ，n11+n q ≥ ① 因为1>q ，所以0n ∃*∈N ，使得当0n n ≥时，2>nq . 因为211≤+n*()n ∈N . 所以0n ∃*∈N ，当0n n ≥时，nq n 11+>，与①矛盾，故假设不成立. ………………9分（Ⅲ）证明：观察： 113b c ==，4152=b 292=<c ，321353=b 4213=<c ，…，猜想：n n c b ≤. 用数学归纳法证明：（1）当1n =时，31=b 31=≤c 成立； （2）假设当n k =时，k k c b ≤成立；当时，)211(11+++=k k k b b )211(1++≤k k c )211(6k -=)211(1++k )2121211(6121++--+=k k k )21211(6121++--=k k )211(61+-<k 所以11++≤k k c b .根据（1）（2）可知，对任意*n ∈N ，都有n n c b ≤，即0≤-n n c b .由已知得，n n a na )11(2+≤. 所以11221(1)2nn n aa --≤+≤≤L 11)11)(211()211(a n +++-Λ.所以当2≥n 时，122-≤n nb a12-≤n c )211(121--=n 12<.因为1242<<a a .所以对任意n *∈N ，122<na .对任意n *∈N ，存在m *∈N ，使得m n 2<，因为数列{n a }单调递增，所以122<<mn a a ，012<-n a .因为0≤-n n c b ，所以012≥--n nn a c b . ………………14分。