除
法
= xy
经典例题
二
次
例题5、已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，
根
化简：
﹣|a﹣b|。
式
解：从数轴上a、b的位置关系可知：
的
﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，
乘
故a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
除
原式=|a+1|+2|b﹣1|﹣|a﹣b| =﹣（a+1）+2（b﹣1）+（a﹣b）
法
=b﹣3．
经典例题
二
次
例题6、把下列二次根式化成最简二次根式：
①②③
④
根
式
解：①
=
=2
的
乘
②
=
=3
除
③
=
=
法
④
=Байду номын сангаас
=
03 二次根式的加减法
■ 运算法则 ■ 经典例题
二次根式加减法运算
二
次
■ 同类二次根式：
根
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
式
笼统的说，就是根号内的数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
答：这个大正方体铁块的棱长是3.80cm。
法
经典例题
二
例题10、一个三角形的三边长分别为 、 、
次
①求它的周长（要求结果化简）；
根
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
式
解：① +
+
的
=
+ +×
加
= ++
减
=
法
② 根式内取偶数的完全平方数，
如3x=36时，x=12,此时三角形的周长C=15。
二次根式乘除法运算
二
■ 乘法法则：
次
a· b = ab （a≥0，b≥0）
根
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根
式
的积，等于这两个因式积的算术平方根。
的 乘
■ 除法法则：
a / b = a/b （a≥0，b＞0）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，
除
次
式）；2、被开方数不含分母的二次根式叫做最简二次根式。
根
■ 在二次根式运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式；
式
■ 二次根式化简一般步骤：
的
1、把带分数或小数化成假分数；
定
2、把开方数分解成质因数或分解因式；
3、把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
义
4、化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
义
■ 被开方数可以是数 ，也可以是代数式。
二次根式的基本性质
二
次
■ 对于非负实数a，由于 a 是a的一个平方根，因此：
根
（ a ）2 = a (a≥0)
式
■ a2 = |a|= a (a≥0)
的
-a (a＜0)
定
义
■ ab = a · b (a≥0,b≥0)
最简二次根式
二
我们把满足下面两个条件：1、被开方数中不含开得尽方的因数（或因
的
■ 合并同类二次根式：
加
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 ■ 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同
减
的进行合并。
法
■ 有括号时，要先去括号。
二
二次根式混合运算
次
根
第一步：确定运算顺序
第二步：灵活运用运算定律
式
第三步：正确使用乘法公式
的
第四步：大多数分母有理化要及时
初中数学课件 之
二次根式
目 录
01、二次根式的定义 02、二次根式的乘法和除法 03、二次根式的加法和减法
01 二次根式的定义
■ 定义 ■ 性质 ■ 最简二次根式
二
二次根式的定义
次
根
一般地，形如 a 的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
式
二次根式
a
被开方数
的
定
■ 只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义。
等于这两个数商的算术平方根。
法
■ 注意：1、 a 与 1 / a （a＞0）互为倒数。
2、上述运算法则从右到左，可用于化简二次根式。
经典例题 二
次
根
例题4、化简：4x2
■ 在解二次根式运算题时，可以将
式
解：4x2
常数项放在最前面，然后将相同未
的 乘
=4x2÷12×3 =x2
知数的项按照指数从高到低排列， 有利于解题。
加
第五步：在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
减
第六步：字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
法
经典例题
二
次
根
例题7、计算：﹣42﹣|1﹣ |+
例题8、解方程： （x﹣1）= （x+1）
式
解：原式=﹣16+1﹣ +2
解：移项得：（ ﹣ ）x= ﹣
的
加
=﹣15+
解得：x=5+2
减
法
经典例题
定
则自然数x的对应值是：
义
21、20、17、12、 5。
经典例题
二
例题3、已知：x，y为实数，且，
， 化简：
次
解：依题意，得：
根
式
∴x﹣1=0，1-x=0;
的
解得：x=1 ∴y＜3 ∴ y﹣3＜0，y﹣4＜0
定
∴
义 =3﹣y﹣
=3﹣y﹣（4﹣y） =﹣1．
02 二次根式的乘除法
■ 运算法则 ■ 经典例题
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二
例题9、如果把棱长分别为3.51cm, 2.26cm的两个正方体铁块熔化，制成一个
次
大的正方体铁块，那么这个大正方体铁块的棱长是多少？（用一个式子表示，
根
并用计算器进行计算，最后结果保留2个有效数字）
式
解：∵这个大正方体的体积为3.513+2.263 ，
的
∴这个大正方体的棱长=
加
=3.80cm，
减
5、约分。
经典例题
二
例题1、已知：
，求：（x+y）4 的值。
次
解：∵
与
有意义
根
∴
式
的
解得x=2，
定
∴ y=﹣3，
义
∴ （x+y）4
=（2﹣3）4
=1
经典例题
二
例题2、已知
为整数，试求自然数x的值。
次 根
解：根据题意得：
21﹣x≥0，
式
解得：x≤21．
的
由此可知：21-x，可能为0、1、4、9、16