2018学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷2018.121. 函数xx x f 21)(+-=的定义域为 . 2. 若31sin =α，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ2cos . 3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∈3,2,1,21,31α，若αx x f =)(为偶函数，则=α .4. 若直线l 经过抛物线C ：x y 42=的焦点且其一个方向向量为)1,1(=d ，则直线l 的方程为 .5. 若一个球的体积是其半径的34倍，则该球的表面积为 . 6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出 两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 设663322105)1)(1(x a x a x a x a a x x +++++=+-Λ，则=3a （结果用数值表示）.8. 设0>a 且1≠a ，若0)cos (sin log =-x x a ，则=+x x 88cos sin .9. 如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为4，记F D B C A =1111I ,E C B BC =11I ，若BF AE ⊥，则此棱柱的体积为 .10.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成.2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元.从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的%110.照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到1.0）.11. 已知点)0,2(-A ，设B 、C 是圆O :122=+y x 上的两个不同的动点，且向量OC t OA t OB )1(-+=（其中t 为实数），则=⋅AC AB .12. 设a 为整数，记函数xa xx f a -+=log 21)(（0>a 且1≠a ，a x <<0）的反函数为)(1x f -，则=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1221231221211111a a f a f a f a fΛ . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列关于双曲线Γ：13622=-y x 的判断，正确的是………………………………………（ ） )A (渐近线方程为02=±y x )B (焦点坐标为()0,3± )C (实轴长为12 )D (顶点坐标为()0,6±14.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42cos 2πx y 的图像………………………………………………………………（ ）)A (关于原点对称 )B (关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,83π对称 )C (关于y 轴对称 )D (关于直线4π=x 对称15.若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“b a //”成立的一个充分非必要条件是（ ）)A (c a ⊥，c b ⊥ )B (α//a ，α//b )C (β⊥a ，β⊥b )D (c a //，c b ⊥16.设)(x f 是定义在R 上的周期为4的函数.且⎩⎨⎧<<≤≤=41,log 210,2sin )(2x x x x x f π.记a x f x g -=)()(，若210<<a ，则函数)(x g 在区间[]5,4-上零点的个数是………………………………（ ） )A (5 )B (6 )C (7 )D (8三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在△ABC 中，三个内角A ,B ,C 所对的边依次为a ,b ,c ,且41cos =C . （1）求C BA 2sin 2cos22++的值； （2）设2=c ，求b a +的取值范围.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知曲线Γ：1121622=+y x 的左、右顶点分别为A ,B ，设P 是曲线Γ上的任意一点. （1）当P 异于A ,B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅是定值；（2）设点C 满足CB AC λ=（0>λ），且||PC 的最大值为7，求λ的值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上. 并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ,钉尖为i A （4,3,2,1=i ）. （1）设1OA a =（0>a ），当321,,A A A 在同一水平面内时，求1OA 与平面321A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为232cm ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n a 满足531=a ，231+=+n n n a a a （*n ∈N ）.（1）求2a 、3a 的值；（2）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→n a a a n n 111lim 21Λ的值； 4A1A2A3AO（3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （*n ∈N 且2≥n ）均有k S n ≥成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数xx f 2)(=（R ∈x ），记)()()(x f x f x g -+=. （1）解不等式：6)()2(≤-x f x f ；（2）设k 为实数，若存在实数0x (]2,1∈，使得1)()2(020-⋅=x g k x g 成立，求k 的取值范围；（3）记b x f a x f x h +⋅++=)()22()(（其中a 、b 均为实数），若对于任意的[]1,0∈x ，均有21|)(|≤x h ，求a 、b 的值.2018学年第一学期普陀区质量调研卷参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分）填对1-6得4分、7-12得5分. 1.()(]1,00,Y ∞- 2.31-3.2-4. 01=--y x5. 46.127 7.0 8.1 9. 232 10. 4.10 11. 3 12.2a二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）由41cos =C 0>，得415sin =C ……1分，由=++C B A π得C B A -=+π, 故C B A cos )cos(-=+……2分C BA 2sin 2cos22++C C B A cos sin 21)cos(+++=……4分 1cos sin 2cos ++-=C C C ……5分=+⨯⨯+-=1414152418156+……6分 （2）在△ABC 中，由余弦定理，得C ab b a c cos 2222-+=……8分 即ab b a 21422-+=ab b a 25)(2-+=……9分 22225254)(⎪⎭⎫⎝⎛+≤=-+b a ab b a （当且仅当b a =时，等号成立）……11分所以332)(2≤+b a ，即364≤+b a ……12分，又因为2>+b a ，故3642≤+<b a ……14分18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】根据题设条件，可得)0,4(),0,4(B A -，设),(00y x P ……1分（1）40±≠x ，则016,04,042000≠-≠+≠-x x x ，112162020=+y x ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=161122020x y …3分其中4,4002001-=+=x y k x y k ………4分； 故21k k ⋅==-⨯+440000x y x y 162020-x y 4316161122020-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x （定值）6分 （2）由CB AC λ=（0>λ），得点C 为线段AB 的内分点（不含两个端点）可设)0,(m C （44<<-m ）…………7分根据（1）可得||PC ()1224120202020++-=+-=m mx x y m x ……8分 所以||PC 220312)4(41m m x -+-=（440≤≤-x ）……9分 （1）若04<<-m ，则当40=x 时，7312)44(4122=-+-m m ， 即7|4|=-m ，解得=m 3-或11，只有3-=m ，此时713443=++-=λ……11分 （2）若40<≤m ，则当40-=x 时，7312)44(4122=-++m m 即7|4|=+m ，解得=m 3或11-，只有3=m ，此时73443=-+=λ ……13分 综上所述7=λ或71。

……14分 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，4321,,,A A A A 两两联结，后得到的四面体4321A A A A 为正四面体……2分延长O A 4交平面321A A A 于B ,则⊥B A 4平面321A A A ，连接B A 1， 则B A 1是1OA 在平面321A A A 上的射影，所以B OA 1∠即为1OA 与平 面321A A A 所成角。

……3分 设l A A =41，则l B A 331=在B A A RT 14∆中，2421241B A B A A A +=, 即222223333⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a l a l l ，所以a l 362=，故a a B A 322362331=⨯=…4分 322cos 111==∠OA B A B OA （其中<0B OA 1∠2π<），所以B OA 1∠322arccos =……5分4A1A2A3AOB故1OA 与平面321A A A 所成角的大小为322arccos……6分 （2）232321221=⋅A A ……8分 根据（1）可得a A A 36221=，所以4227=a cm ……11分⋅1001()4216244100==⋅a a m …13分.答：复制100枚这种“钉”，共需材料42162米…14分20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.【解】（1）由已知条件，可得1392=a ，35273=a ；…………4分 （2）32111=-a ，11+n a 31132+⋅=n a ……5分即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+1132111n n a a …6分 必有011≠-n a ， 所以3211111=--+nn a a （常数）……7分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以32为首项，公比为32的等比数列。