2018年高考理科数学平面向量100题（含答案解析）1.平面向量a 与b 的夹角为120︒，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ）． A ．4B ．3C ．2D 2.设1e ，2e 为单位向量，满足1212⋅=e e ，非零向量112212,,λλλλ=+∈R a e e ，则1||||λa 的最大值为（ ）A.12C.1 3.已知平面向量a ， b 夹角为3π，且1a =， 12b =，则2a b +与b 的夹角是( ) A. 6π B. 56π C. 4π D. 34π4.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA OB ⋅的值为（ ）．A ．1B 1CD 15.已知Rt △ABC ，两直角边AB=1，AC=2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB=60°，设AD =λAB +μAC （λ，μ∈R ），则μλ=（ ） A ．332 B ．33 C ．3D ．236.已知和，若，则||=（ ）A ．5B ．8C ．D ．647.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC=3DF ，设=，=，则=（ ）A ． +B ． +C ． +D ． +8.已知||=3，||=5，且+λ与﹣λ垂直，则λ等于（ ）A ．B ．±C ．±D ．±9.已知向量(e x ，e －x )，=(2，a)，函数f(x)= ·是奇函数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．﹣210.已知向量，满足||=1，||=(3，1)，·=1，则与的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．4πD ．32π11.已知、是夹角为的单位向量，若=+3， =2﹣，则向量在方向上的投影为（ ）A ．B ．C ．D ．12.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．13.设x ，y ∈R ，向量=（x ，1），=（1，y ），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（ ）A ．2B ．C ．3D ．14.已知向量a ，b 满足a +2b =0，（ a +b ）·a =2，则a ·b =（ ） A ．﹣21B ．21C ．﹣2D ．2 15.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=3π，AB=2，AD=1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足λ==DCNCBC BM ，其中λ∈[0，1]，则AN AM ⋅的取值范围是（ ）A ．[0，3]B ．[1，4]C ．[2，5]D ．[1，7]16.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA |=|DB |=|DC |，DA •DB =DB •DC =DC •DA =﹣2，动点P ，M 满足||=1，=，则|BM |2的最大值是（ ） A ．443 B ．449C ．43637+D ．433237+17.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣118.如图，已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．19.已知向量和，若，则=（ ）A ．64B ．8C ．5D ．20.如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若=x +y （x ，y ∈R ），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则的取值范围是（ ）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]21.已知双曲线x2﹣=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为（）A．﹣2 B．﹣C．1 D．022.在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，则•的取值范围是（）A．[1，4] B．[2，5] C．[2，4] D．[1，5]23.若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）A．2 B．C． D．﹣224.已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（）A．B． C．﹣D．﹣25.已知M是△ABC内的一点，且•=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．9 B．16 C．18 D．2026.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A ．﹣2B ．﹣C ．﹣D ．﹣127.设a ，b 是两个非零向量（ ）． A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=-28.若非零平面向量a ，b 满足a b a b +=-，则（ ）． A ．a b = B ．a b =C ．a b ∥D ．a b ⊥29.如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，E 为BC 的中点，点F 在DC 边上，则的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．与F 点的位置有关 30.已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 31.O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若，则△ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形 32.已知菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，=3，则的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1033.已知平面向量=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，﹣2sin2x），若函数f（x）=•，要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需要将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位34.已知向量=（1，﹣3），=（2，1），若（k+）∥（﹣2），则实数k的取值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．235.设M为△ABC内一点，且，则△ABM与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．36.O为△ABC内一点，且2++=， =t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．37.在△ABC所在的平面内，点P0、P满足=，，且对于任意实数λ，恒有，则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AC=BC D．AB=AC38.直角△ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M（，）．则||最大值是（）A．B．C．D．39.若函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（ ）A ．B ．C ．D ．40.若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（ ） A ． B ．C ．D ．41.设a ，b 是平面上的两个单位向量，a •b =53．若m ∈R ，则|a +m b |的最小值是（ ） A ．43 B ．34 C ．54 D ．45 42.已知向量i 与j 不共线，且AB i m j =+，AD ni j =+，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是（ ） A ．1mn = B ．1mn =-C ．1m n += D ．1m n +=-43.已知向量)2,1(=，)2,(-=x ，且b a ⊥=（ ） A ．5 B ．5 C ．24 D ．3144.过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为 ． 45.在△ABC 中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，则= ．46.向量（3，4）在向量（1，2）上的投影为 ． 47.已知向量,a b 的夹角为π4，=a，+a b =b ___________． 48.已知向量a ，b 满足||||1a b ==且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则a 与b 的夹角为__________．49.已知平面量(2,1)a =，(1,3)b =-，若向量()a a b λ+⊥，则实数λ的值是__________． 50.如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅的取值范围是__________．51.ABC △的外接圆圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则C ∠等于__________．52.在ABC △中，点M 为边AB 的中点，若OP OM ∥，且(0)OP xOA yOB x =+≠，则yx =__________． 53.已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为__________． 54.在三角形ABC 中，D 为BC 边上中点，AB AC AD λ+=，则λ=__________． 55.已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =，且a b ⊥，则实数x 的值为__________． 56.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若，，则m+n 的取值范围为 ．57.已知向量=（2m ，3），=（m ﹣1，1），若，共线，则实数m 的值为 ． 58.已知O 是△ABC 内一点，且5OA +6OB +10OC =0，则BOCAOBS S ∆∆= ． 59.有以下4个条件：①=；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中a ∥b 的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）． 60.已知单位向量、的夹角为60°，则|2+3|= ．61.已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，则|+|= ． 62.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D 是BC 的中点，那么（﹣）•= ；若E 是AB 的中点，P 是△ABC （包括边界）内任一点．则的取值范围是 ．63.已知向量=(2，1)，=(1，－1)，若－与m +垂直，则m 的值为 ． 64.已知非零向量，满足||=||=|+|，则与2－夹角的余弦值为 ． 65.已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|=|b|=1，|c|=3，则|a+b+c| ．66.已知两个单位向量a，b满足|a+2b|=3，则a，b的夹角为．67.AB⋅=．设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则AC68.设向量=(2，3)，=(3，3)，=(7，8)，若=x+y(x，y∈R)，则x+y=．69.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC=λ+μBN，则λ+μ=．70.已知正方形ABCD边长为2，E为AB边上一点，则ED•EC的最小值为．71.已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ= ．72.已知向量、满足||=5，||=3，•=﹣3，则在的方向上的投影是．73.在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD，则的最大值为．74.已知向量满足，与的夹角为，则= ．75.已知向量与的夹角为120°，且，，则= ．76.已知非零向量的交角为600，且，则的取值范围为．77.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且2=，DE AE2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．FEB78. 设π02θ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b ⋅=，则tan θ=__________． 79.已知向量(1,)a k =，(2,1)b =，若a 与b 的夹角大小为90︒，则实数k 的值为__________． 80.已知两向量与满足||=4，||=2，且（+2）•（+）=12，则与的夹角为 ． 81.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（，k），若﹣2 与垂直，则k= ． 82.在△ABC 中，BC=2，AC=，AB=+1．设△ABC 的外心为O ，若=m+n，则m+n= ． 83.已知向量，的夹角为45°，||=，||=3，则|2﹣|= ．84.已知非零向量满足|+|=|﹣|=3||，则cos＜，﹣＞= ．85.等腰△ABC 中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC 的面积为 ．86.已知向量=（m ，3），=（1，2），且∥，则•的值为 ． 87.已知常数0m >，向量(0,1)a =，(,0)b m =经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ．（1）求点P的轨迹方程，并指出轨迹E．（2）若点(1,0)C，当m=M为轨迹E上任意一点，求||MC的最小值．88.已知向量(sin,2)a x=-，(1,cos)b x=互相垂直，其中π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x，cos x的值．（2）若5cos()xθθ-=，π2θ<<，求cosθ的值．89.已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．90.在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b）且⊥．（1）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．（2）y=sin2A+sin2C的取值范围．91.已知，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．92.已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间． 93.设向量=（sin2ωx ，cos2ωx ），=（cos φ，sin φ），其中|φ|＜，ω＞0，函数f（x ）=的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与x 轴的第一个交点为．（Ⅰ）求函数f （x ）的表达式；（Ⅱ）在△ABC 中，角A′B′C 的对边分别是a′b′c′若f （C ）=﹣1，，且a+b=2，求边长c ．94.已知向量，向量，函数→→→∙+=m n m x f )()(．（Ⅰ）求f （x ）单调递减区间；（Ⅱ）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，，c=4，且f（A ）恰是f （x ）在上的最大值，求A ，b ，和△ABC 的面积S ．95.已知：A 、B 、C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量=（，cosA+1），=（sinA ，﹣1），⊥ （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若，a=2，cosB=，求b 的长．96.△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c ﹣b=1，求a 的值． 97.如图，在平面四边形ABCD 中，32=⋅．（1）若与的夹角为30°，求△ABC 的面积S △ABC ；（2）若||=4，O 为AC 的中点，G 为△ABC 的重心（三条中线的交点），且与互为相反向量，求CD AD ⋅的值．98.已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）•﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f （A）=1，求A，b和△ABC的面积S．99.已知，其中向量（x∈R），（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f （A）=2，a=，b=，求边长c的值．100.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（a，c），n=（1﹣2cosA，2cosC﹣1），m∥n（Ⅰ）若b=5，求a+c值；（Ⅱ）若，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．答案1.C∵a 与b 的夹角为120︒，(2,0)a =，||1b =，∴2221|2|||4||4||||cos1204442142a b a b a b ⎛⎫+=++⋅︒=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴|2|2a b +=．故选C ． 2.D 3.A 4.B解：=(0,1)OA ，1)OB =， ∴31OA OB ⋅=-． 故选B ． 5.A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，分别写出B 、C 点坐标，由于∠DAB=60°，设D 点坐标为（m ，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：如图以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴， 以AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则B 点坐标为（1，0），C 点坐标为（0，2），∠DAB=60°，设D 点坐标为（m ，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m ，μ=，则=．故选：A6.A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出||．【解答】解：∵和，，∴x+2﹣2x=0，解得x=2，∴||=|（5，0）|=5．故选：A．7.B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与运算性质，即可得出结论．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC=3DF，∴==（﹣）=（﹣），∴=﹣=+，设=， =，则=+=（+）+（﹣）=+=+．故选：B．8.B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由题意可得（+λ）•（﹣λ）=0，计算可得=0，代入数据解λ的方程可得．【解答】解：∵+λ与﹣λ垂直，∴（+λ）•（﹣λ）=0，∴=0，即=0，代入数据可得32﹣λ2×52=0，解得λ=±故选：B9.D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积和奇函数的定义即可求出．【解答】解：f（x）==2e x+ae﹣x，∵f（x）为奇函数，且定义域为R，∴f（0）=0，即2+a=0，解得a=﹣2，故选：D10.B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式计算即可．【解答】解：设与的夹角为θ，∵||=1，||==2，∴cosθ===，∵0≤θ≤π，∴θ=，故选：B11.B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件即可求出，而根据即可求出的值，而可得到在方向上的投影为，从而求出该投影的值．【解答】解：根据条件：===；===；∴在方向上的投影为：===．故选B．12.A【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据向量共线定理，可得若成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．【解答】解：由得，即，则向量共线且方向相反，因此当向量共线且方向相反时，能使成立．对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反；C项中向量、的方向相同；D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A【点评】本题给出非零向量、，求使成立的条件．着重考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于中档题．13.B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由，便有，这样可以求出x，而由∥，便有﹣4﹣2y=0，这样可求出y，从而得出向量的坐标，根据坐标即可得出其长度．【解答】解：；∴；∴x=2；∥；∴1•（﹣4）﹣y•2=0；∴y=﹣2；∴；∴．故选：B．【点评】考查非零向量垂直的充要条件，数量积、向量加法的坐标运算，以及平行向量的坐标关系，根据向量坐标求向量长度．14.C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，即可求出的值．【解答】解：向量，满足+2=，即++=，∴+=﹣，又（）=2，∴﹣•=2，∴=﹣2．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算的问题，是基础题．15.C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵，λ∈[0，1]，=+λ=+λ=M（2+，λ），即M（2+，λ）；==+（﹣λ）=（，）+（1﹣λ）•（2，0）=（﹣2λ，），即 N（﹣2λ，）．所以=（2+，λ）•（﹣2λ，）=﹣λ2﹣2λ+5=﹣（λ+1）2+6．因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，故当λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故选：C．【点评】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题． 16.B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由==，可得D 为△ABC 的外心，又•=•=•，可得可得D 为△ABC 的垂心，则D 为△ABC 的中心，即△ABC 为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC 的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得B ，C 的坐标，再设P （cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D 为△ABC 的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0， •（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D 为△ABC 的垂心，则D 为△ABC 的中心，即△ABC 为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC 的边长为4cos30°=2，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B （3，﹣），C （3，），D （2，0），由=1，可设P （cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M 为PC 的中点，即有M （，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin （θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B ．【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 17.A【考点】9V ：向量在几何中的应用；9H ：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】利用向量转化求解即可．【解答】解：由题意正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，可知： =．则λ+μ的值为：． 故选：A ． 18.C【考点】平面向量数量积的运算；向量加减法的应用．【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，可得， =∠ABF=30°，然后根据向量的数量积，即可得到答案【解答】解：由正六边形的性质可得， =∠ABF=30°∴==||•||cos30°== 故选C【点评】本题考查的知识点是向量的加法及向量的数量积的定义的应用，其中根据正六边形的性质得到得，=∠ABF=30°，是解题的关键．19.C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两向量垂直数量积为0，列出方程求出t的值，再求模长．【解答】解：向量和，若，则•=0，即﹣2t+（t+2）=0，解得t=2；∴+=（2﹣2，1+4）=（0，5），∴=5．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题目．20.C【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】若P在线段AB上，设=λ，则有=，由于=x+y，则有x+y=1，由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，P落在线段MN上，则x+y=2．即可得到取值范围．【解答】解：若P在线段AB上，设=λ，则有==，∴=，由于=x+y（x，y∈R），则x=，y=，故有x+y=1，若P在线段MN上，设=λ，则有=，故x=1，y=0时，最小值为，当x=0，y=1时，最大值为故范围为[]由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，则=x+y=x+y（x，y∈R），则x=， y=，故有x+y=2，当x=2，y=0时有最小值，当x=0，y=2时，有最大值故范围为[]若P在阴影部分内（含边界），则∈．故选：C．21.A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，设P（x，y）（x≥1），根据双曲线的方程，易得A1、F2的坐标，将其代入•，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得•═4x2﹣x ﹣5配方，再由x的范围，可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），易得A1（﹣1，0），F2（2，0），•=（﹣1﹣x，y）•（2﹣x，y）=x2﹣x﹣2+y2，又x2﹣=1，故y2=3（x2﹣1），于是•=4x2﹣x﹣5=4（x﹣）2﹣5﹣，当x=1时，取到最小值﹣2；故选A．22.B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，），设==λ，λ∈[0，1]，则M（2+，），N（﹣2λ，），所以=（2+，）•（﹣2λ，）=5﹣4λ+λ﹣λ2+λ=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]． 故选：B ．23.A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出． 【解答】解：如图所示，A （，0），B （0，），C （﹣，0），∴=（，），=（3，0），∴=（，）+（3，0）=（2，），∴=+=（，），∴=﹣=（﹣1，），=﹣=（﹣，），∴=﹣1×（﹣）+×=2，故选：A ．24.B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值．【解答】解：设、的夹角为θ，则θ∈[0，π]，又（）=5，||=2，||=1，∴+•=22+2×1×cosθ=5，解得cosθ=，∴θ=，∴tanθ=，即向量与夹角的正切值为．故选：B．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的应用问题，是基础题目．25.C【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得•=bccos∠BAC=bc×=2，∴bc=4，故S△ABC=x+y+bcsinA=1，∴x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，当且仅当x=，y=时取等号．故选：C．26.B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．27.C根据向量加法的几何意义，|||||+-≥|，其中等号当且仅当向量a，b共线时成立，a b a b所以由||||||+=-，可得存在实数λ，使得a ba b a bλ=．故选C．28.D∵||||+，a b a b=-∴2222+++，22⋅⋅=-⋅⋅a ab b a a b b∴0a b⋅=，∵a，b均为非零向量，∴a b⊥．综上所述，答案为D．29.A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），E（1，1），F（x，2）．（0≤x≤2）．可得=（1，1），（x，2），再利用数量积运算性质、一次函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示建立直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），E（1，1），F（x，2）．（0≤x≤2）．∴=（1，1），（x，2），∴=x+2≤3．∴的最大值为3．故选：A．30.D【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量关系，判断即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向．故选：D．31.B【考点】三角形的形状判断．【分析】设BC的中点为 D，由条件可得•2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．【解答】解：设BC的中点为 D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选 B．32.C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，把都用表示，则答案可求．【解答】解：如图，∵AB=AD=4，∠DAB=60°，=3，∴=====9．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．33.B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：函数f（x）=•=2cos2x•cos2x﹣2sin2x•sin2x=2（cos2x+sin2x）•（cos2x﹣sin2x）=2cos2x=2sin（2x+）=2sin2（x+），∴要得到y=sin2x+cos2x=2sin（2x+）=2sin2（x+）的图象，只需要将函数y=f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移﹣=个单位即可，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．34.A【考点】平行向量与共线向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（1，﹣3），=（2，1），∴k+=k（1，﹣3）+（2，1）=（2+k，1﹣3k），﹣2=（﹣3，﹣5），∵（k+）∥（﹣2），∴﹣5（2+k）=﹣3（1﹣3k），∴解得：k=﹣．故选：A．【点评】此题主要考查了平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别，属于基础题．35.A【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为【解答】解：如图所示，∵点M是△ABC所在平面内一点，且满足，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，AE=AC，则EF∥AB，．故选：A．36.B【考点】平行向量与共线向量．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．2++=，可得=﹣2==2，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线， =t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC的中点．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴ =﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线， =t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC， =t，∴t=．故选：B．37.C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得 P0、P、A、B 四点共线，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），根据恒有，可得x2﹣4（a+1）x+a+1≥0 恒成立，由判别式△≤0，解得a=0，可得点C在AB的垂直平分线上，从而得出结论．【解答】解：∵=，，∴P0、P、A、B 四点共线，以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），则A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0），∵恒有，∴（2﹣x，0）•（a﹣x，b）≥（1，0）•（a﹣1，b）恒成立，即（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立，即 x2﹣（a+2）x+a+1≥0 恒成立，∴判别式△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0，解得a2≤0，∴a=0，即点C在AB的垂直平分线上，∴CA=CB，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．38.C【考点】点与圆的位置关系．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由题意，||=|+2|≤||+2||，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即可求出||的最大值．【解答】解：由题意，||=|+2|≤||+2||，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即||取得最大值，最大值是++1=+1，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查向量知识的运用，比较基础．39.C【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A•ω的值．【解答】解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴A•ω=．故选C．【点评】本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数，根据A、ω的意义和三角函数的性质进行求解，考查了读图能力．40.B【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．由|+|=|﹣|=2||，可得四边形OACB为矩形，利用=即可得出．【解答】解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．∵|+|=|﹣|=2||，∴四边形OACB为矩形，∴==，∴向量+与的夹角为．故选：B．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．41.C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则和二次函数的性质即可求出即可．【解答】解：设，是平面上的两个单位向量，则||=1，||=1，∵•=，∴|+m |2=||2+m 2||2+2m •=1+m 2+m=（m+）2+，当m=﹣时，|+m |2有最小值，∴|+m |的最小值是，故选：C42.A试题分析：依题意，AB AD ，∴AB AD λ=，即11m n =，求得1mn =，故选A. 考点：共线向量定理.43.A 1试题分析：因为⊥ 所以40)2(210=⇒=-⨯+⨯⇔=⋅x x 所以)0,5()0,41(=+=+ 所以5||=+b a故答案选A考点：向量的数量积；向量的模.44.y 2=2x【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】判断F 为A ，B 的中点，设出B ，求出A ，C 坐标，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若，可知F （）是AB 的中点，设B （，﹣n ）n ＞0，则A （），C （﹣，n ），=（2p ，2n ， =（0，2n ），，可得：4n 2=12，解得n=，|BC|=2|AF|=|AC|=2p==2．所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．45.﹣6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性表示与数量积运算性质，即可求出的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（+）•（+）=（﹣+）•（+）=﹣﹣•+=﹣×42﹣×0+×22=﹣6．故答案为：﹣6．46.【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据所给的两个向量的坐标，利用求一个向量在另一个向量上的投影的公式，即两个向量的数量积除以被投影的向量的模长．【解答】解：∵向量（3，4）在向量（1，2）∴（3，4）•（1，2）=3×1+4×2=11，向量（1，2）上的模为，∴向量（3，4）在向量（1，2）上的投影为=，故答案为：47.1【命题意图】本小题主要考查向量的表示及运算等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等． 【试题简析】因为πcos4⋅==a b a b b ，所以22222225+=+⋅=++=a b a a b+b b b ，解得1=b .【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理13）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．48.120︒∵||||1a b ==且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴22()||||2||||cos 1a b a b a b θ+=++=， ∴1cos 2θ=-，120θ=︒． 49.5-∵(2,1)a =，(1,3)b =-，∴(2,13)a b λλλ=-+⊥，∵()a a b λ+⊥，∴()0a a b λ⋅+=，∴2(2)130λλ-++=，解得，5λ=-．50.[1,3]令OAB θ=∠，则(2cos sin ,cos )D θθθ+，(sin ,cos 2sin )C θθθ+，(sin ,cos 2sin )OC θθθ=+，(2cos sin ,cos )OD θθθ=+，∴(2cos sin ,cos )(sin ,cos 2sin )OC OD θθθθθθ⋅=+⋅+2sin21θ=+，∵sin 2[0,1]θ∈，∴OC OD ⋅的取值范围是[1,3]．51.45︒∵ABC △的外接圆圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，∴||||||OA OB OC ==，1(34)5OC OA OB =-+， ∴2222192416||(34)||||25252525OC OC OC OA OB OA OA OB OB ⋅==+=+⋅+ 224||25OC OA OB =+⋅， ∴24025OA OB ⋅=，∴90AOB =︒∠， 外接圆中OA OB =，∴D 为AC 中点，∵90B =︒∠，∴45C =︒∠．52.1解：∵M 是AB 的中点， ∴1()2OM OA OB =+， 又∵1()2OP OM OA OB xOA yOB λλ==+=+， ∴12x λ=，12y λ=， ∴1y x=． 53.6设(cos ,sin )P θθ，(2,0)AO =，(cos 2,sin )AP θθ=+，∴2cos 4AO AP θ⋅=+，∵cos [1,1]θ∈-，当cos 1θ=时，∴max 2146AO AP ⋅=⨯+=．54.2在平面ABC 内找一点E ，使ABEC 为平行四边形，则2AB AD AE AD AD λ+==+，∴2λ=．55.1-解：∵a b ⊥，∴0a b ⋅=，即3130x +⨯=，解出1x =-．56.[2，+∞）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC 中，点O 是BC 的中点，∴=（+），∵，，∴=+， 又∵O ，M ，N 三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n ）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n 的取值范围为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）57.3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的坐标表示可得关于m 的方程，解出可得．【解答】解：∵，共线，∴2m ×1﹣3（m ﹣1）=0，解得m=3，故答案为：3．58.2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意可知=﹣，利用平面向量加法的平行四边形法则作图即可得出面积比．【解答】解：∵5+6+10=，∴=﹣，延长OC至C′，使得OC′=2OC，连接AC′，设AC′的中点为D，则=2，∴2=﹣，即O，B，D三点共线．∴S△AOB=S△OBC′=2S△OBC，故答案为：2．59.①③【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平行向量与共线向量．【分析】根据共线向量的定义判断即可．【解答】解：若①=；则∥，但反之不一定成立，若③与的方向相反；则∥，但反之不一定成立，由此知①③为∥的充分不必要条件；故答案为：①③．60.【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到．【解答】解：由单位向量、的夹角为60°，则•=1×1×cos60°=，即有|2+3|====．故答案为：．61.【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由⊥，求出=（2，﹣1），再由不、平面向量坐标运算公式求出=（3，1），由此能求出||．【解答】解：∵向量=（1，2），=（λ，﹣1），⊥，∴•=λ﹣2=0，解得λ=2．∴=（2，﹣1），=（3，1），∴||==．故答案为：．62.2 ，[﹣9，9].【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件可得=，故==，由此求得的值．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t=的取值范围．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么=， =+=16+4=20．∴====2．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有．令t==（﹣4，1）•（x﹣2，y﹣1）=7﹣4x+y，即 y=4x+t﹣7．故当直线y=4x+t﹣7过点A（4，0）时，t取得最小值为7﹣16+0=﹣9，当直线y=4x+t﹣7过点B（0，2）时，t取得最大值为 7﹣0+2=9，故t=的取值范围是[﹣9，9]，故答案为 2，[﹣9，9]．【点评】本题主要考查两个向量的数量积运算，线段的中点公式，简单的线性规划问题，属于中档题．63.【考点】平面向量的坐标运算．【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量若与，然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m的值【解答】解：∵向量，∴=（1，2），=（2m+1，m﹣1），∵与垂直∴（）（）=0，即2m+1+2（m﹣1）=0，。