高考数学平面向量专题卷（附答案）
一、单选题（共10题；共20分）
1.已知向量，则＝（）
A. B. C. 4 D. 5
2.若向量，，若，则
A. B. 12 C. D. 3
3.已知平面向量，，且，则＝（）
A. B. C. D.
4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（）
A. B. C. D.
5.在中，的中点为，的中点为，则（）
A. B. C. D.
6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，
（）
A. B. C. D.
7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（）
A. 0
B.
C. 2
D. 1
8.已知，则的取值范围是（）
A. [0，1]
B.
C. [1，2]
D. [0，2]
9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）
A. B. C. 5 D.
10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D.
二、填空题（共8题；共8分）
11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且
，则点C的坐标是________．
12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则
的取值范围为________．
13.已知正方形的边长为1，，，，则________.
14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线
和轴作垂线，垂足分别是，，则________．
15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________.
16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________.
17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则
的最小值为________.
18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则
________.
三、解答题（共6题；共60分）
19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积．
20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点的轨迹的极坐标方程；
（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.
21.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上
（1）求椭圆的方程；
（2）已短直线与椭交于A、B两点，点P的坐标为，且,求实数m 的值.
22.已知椭圆的离心率为，右焦点为，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23.如图,在平面直角坐标系中,己知抛物线的焦点为,点是第一象限内抛物线上的一点,点的坐标为
（1）若,求点的坐标;
（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;
（3）弦经过点,过弦上一点作直线的垂线,垂足为点,求证:“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“ 为弦的中点”.
24.已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.
（1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；
（2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.
答案
一、单选题
1. D
2. D
3. B
4. C
5. B
6. C
7. D
8. D
9. B 10. C
二、填空题
11. （﹣1，﹣3）12. 13. 14. 15.
16. 17. 18.
三、解答题
19. 解：（Ⅰ）因为向量与平行，
所以，
由正弦定理得，
又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.
（Ⅱ）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c>0，所以c＝3.
故△ABC的面积为bcsinA＝.
20. （1）解：设，.且点，由点为的中点，所以
整理得.即，
化为极坐标方程为.
（2）解：设直线：的极坐标方程为.设，，因为，所以，即.
联立整理得.
则解得.所以，则.
21. （1）解：设椭圆的焦距为，由已知有，又由，
可得，由点在椭圆上，有，
由此可得，椭圆的方程为
（2）解：设点A的坐标，点B的坐标,
由方程组，消去y，整理可得，①
由求根公式可得，②
由点P的坐标为，可得，
故，③
又，，
代入上式可得，
由已知，以及②，可得，整理得，解得，
这时，①的判别式，故满足题目条件，.
22. （1）解：由题意可知，，又，解得，
所以，所以椭圆的方程为．
（2）解：若直线不l垂直于x轴，可设的方程为．
由得．
．
设，，则，．
设，则，，
要使得（为常数），只要，
即．
对于任意实数k，要使式恒成立，
只要，解得．
若直线l垂直于x轴，其方程为，
此时，直线l与椭圆两交点为，，
取点，有，，
．
综上所述，过定点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点，使得．
23. （1）解：点是第一象限内抛物线上的一点,且
设,则解得: ,即.
（2）解：设,由,
可得: ,
①
又等腰,得点在轴投影为、中点,即: .
将, 代入①得: , (舍去)点坐标为.
（3）解：过点
设为: ,点,点,其中点,
可得: 联立直线与抛物线得,消掉
可得:
根据韦达定理可得:
设点处抛物线得切线为
联立直线与抛物线得: ,消掉
可得:
,可得: 过处切线方程为
化简得求切线与直线得交点
可得
轴,与相切时, 为中点
以上各步骤,均可逆“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“ 为弦的中点”.
24. （1）解：设，，则，，
两式相减得：，
由线段的中点在直线上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以，设其斜率为，由式得，即.
由于弦的中点必在椭圆内部，则，解得. 又，所以斜率的取值范围为.
（2）解：由（1）知，，因为椭圆的左焦点为，
所以，，设，则，
，
，
，
同理可得，因为点在椭圆上，所以
，
解得.当时，，直线的方程为，代入得，由根与系数关系得.
则.
由对称性知，当时也成立，.。