平面向量【考点例题解析】考点1.共线定理应用例一：平面向量→→b a ,共线的充要条件是（ ） A.→→b a ,方向相同 B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量C.存在,R ∈λ→→=a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0ba ”是“→→b a //”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设→→b a ,是两个非零向量（ ） A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b aB. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _C. 若→→→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得→→=a b λ D 若存在实数λ，使得→→=a b λ，则→→→→=+b a b a _例二：设两个非零向量→→21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。

变式一：设→→21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。

变式二：已知向量→→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP +=则（ ）A. PB PA +=0B. PA PC +=0C. PC PB +=0D. PB PA PC ++=0变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示)例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( )A. ,3132c b +B. ,3235b c -C. ,3132c b -D. ,3231c b +变式一:在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，b CA =21==,则=CD( )A. ,3231b a +B. ,3132b a +C. ,5453b a + D. ,5354b a +变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则CF BE AD ++,与BC ( )A.反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,a AC =,b BD =则=AF ( )A.,2141b a + B. ,3132b a + C. ,4121b a + D. ,3231b a +考点3：三点共线定理及其应用例一：点P 在AB 上，求证：OB OA OP μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若,AM m AB =,AN n AC =则m+n=例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则=AHA. ,5452b a -B. ,5452b a +C. ,5452b a +-D. ,5452b a --变式：在三角形ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 是边AC 上一点且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P ,若,PM AP λ=求λ的值。

考点4： 向量与三角形四心 一、 内心例一：O 是∆ABC 所在平面内一定点，动点P满足），【∞+∈++=0λλAC AB OA OP ，则点P的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心变式一：已知非零向量AB 与AC满足0=⋅+BC AC AB ，且21=⋅AC AB ，则∆ABC 为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二：⇔=⋅+⋅+⋅0PB PA PC P 为∆ABC 的内心二、重心例一：O 是∆ABC 内一点，0=++OB OA OC ，则为∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C .重心 D.垂心变式一：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：⇔++=)(31GC GB GA GO O 为∆ABC 的重心变式二：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：⇔+=)(31AC AB GO O 为∆ABC 的重心三、垂心：例一：求证：在∆ABC 中，⇒⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为∆ABC 的垂心变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,R AC AB OA OP ∈++=λλ则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心 D .垂心四、外心例一：若O 是∆ABC 的外心，H 是∆ABC 的垂心，则OBOC OA OH ++=变式一：已知点O ，N ，P 在∆ABC所在平面内，且==NC NB NA ++=0，PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则O ，N ，P 依次是∆ABC 的（ ）A. 重心、外心 、垂心B. 重心、外心 、内心C. 外心 、重心、垂心 D . 外心 、重心、 内心考点5、向量的坐标运算例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且CB CN CA CM 2,3==,试求点M,N 和MN的坐标。

变式一：已知平面向量向量),23,21(),1,3(=-=b a ,b 3）（-+=t a x ,b t a k y +-=其中t和k 为不同时为零的实数，（1）若y x ⊥，求此时k 和t 满足的函数关系式k=f(t);(2)若y x //，求此时k 和t满足的函数关系式k=g(t).变式二：平面内给定3个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a ，回答下列问题。

（1）求c b a 23-+；（2）求满足c n b m a +=的实数m,n;(3)若)2//()(a b c k a -+，求实数k ；（4）设)//()(),(b a c d y x d +-=满足且1=-，求d。

考点6：向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示例一：已知两个向量)2,3(),2.1(-==b a ,当实数k 取何值时，向量b a k 2+与b a 42-平行？变式一：设向量a,b 满足|a|=52，b=（2,1），且a 与b 反向，则a 坐标为_________例二：已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===→→→且A,B,C 三点共线，则k=（ ）A:23 B:32 C:32- D:23-变式一：已知),31,(cos ),sin 23(αα==b a 且a//b ，则锐角α为__________变式二：△ABC 的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量),,(),,(a c a b q b c a p --=+=若q p //，则∠C 的大小为（ ） A:6π B:3π C:2π D:32π考点7：平面向量的数量积 例一：（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =4，则=⋅→→AC AB （ ）A ：-16 B:-8 C:8 D:16（2）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则→→⋅CB DE 的值为______；→→⋅CB DE 的最大值为_______（3）在△ABC 中，M 是BC 中点，AM =1，点P 在AM 上满足→→=PM AP 2，则)(→→→+⋅PC PB PA 等于（ ） A:94- B:34- C:34 D:94变式一：如图所示，平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP =3，则→→⋅AC AP =_______变式二：在△ABC 中，AB=1，BC=2，AC=3，若O 为△ABC 的重心，则→→⋅AC AO 的值为________例二：在矩形ABCD 中，AB=2,BC=2,点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2=⋅AF AB ,则BF AE ⋅的值是变式一：在△ABC 中，090=∠A ,1=AB ,AC=2.设点P ,Q 满足R AC AQ AB AP ∈-==λλλ,)1(,,若2-=⋅CP BQ ,则λ=（ ）A:31 B:32 C:34D:2例三：已知向量c b a ,,满足,2210====++c b a c b a 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a变式一：在△ABC 中，若,643===AC BC AB 则=⋅+⋅+⋅AB CA CA BC BC AB变式二：已知向量c b a ,,满足,21,0==⊥=++b a b a c b a 且=c变式三：已知向量c b a ,,满足,1,,),0=⊥⊥-=++b a c b a c b a 且（[[=++2b考点8：平面向量的夹角 例一：已知向量),0,2(),3,1(-==b a 则b a 与的夹角是例二：已知b a ,是非零向量且满足,)2(,)2b a b a b a ⊥-⊥-（则b a 与的夹角是变式一：已知向量c b a ,,,,,21c a b a c ⊥+===则b a 与的夹角是变式二：已知b a ,-==则b a a +与的夹角是变式三：若向量b a 与不共线，,)(,0b ba a c ba ⋅-=≠⋅且则c a 与的夹角是变式四：(高) 若向量βα与,11≤=且以向量βα与为邻边的平行四边形的面积为０.５，则βα与的夹角的取值范围是例二：1,2==，b a 与的夹角为045，求使向量b a λ+与b a +λ的夹角为锐角的λ的取值范围。