自动控制原理知识要点与习题解析第2章 控制系统的数学模型数学模型有多种表现形式：传递函数、方框图、信号流图等。
；； )()()()(t e t c t n t r )()()()()()(s s s s s H s G en n e ΦΦΦΦ； P32 (自动控制原理p23)2-17P33解：(e)4232121123211)(G H G G H G G H G G G G s ++-+=Φ；P37 (p73)2-21 试绘制与题2-21图中系统方框图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数C (s )/R (s ) 和误差传递函数E (s )/R (s )注：P21(2) 依据系统方框图绘制信号流图首先确定信号流图中应画出的信号节点，再根据方框图表明的信号流向，用支路及相应的传输连接信号节点。
步骤如下，(a)系统的输入为源点，输出为阱点；(b)在方框图的主前向通路上选取信号节点，即相加点后的信号和有分支点的信号，两信号是同一个题2-21图 系统方框图 题2-1 7图 控制系统方框图 题2-17解图 控制系统简化方框图信号时只作为一个节点；(c)其它通路上，仅反馈结构求和点后的信号选作节点； (d)最后，依据信号关系，用支路连接这些节点。
解：图(a)信号流图如题2-21解图(a)所示。
计算C (s )/R (s )和E (s )/R (s )过程中，关于回路和特征式的计算是完全相同，可统一计算。
回路111H G L -=，232H G L -=，213213H H G G G L -=；特征式 21312132123111H H G G H H G G G H G H G ++++=∆。
计算C (s )/R (s )：前向通路 3211G G G P =，342G G P =； 特征子式11=∆，1121H G +=∆； 2131223111134321)1(1)1()()(H H G G G H G H G H G G G G G G s R s C ++++++=； 计算E (s )/R (s )：前向通路11=P ；21342H H G G P -=； 特征子式2311H G +=∆，12=∆； 213122311213423)1(11)()(H H G G G H G H G H H G G H G s R s E ++++-+=；P38 (p73)2-22 试用梅森增益公式求题2-22图中各系统信号流图的传递函数)(/)(s R s C 。
解：(b) 6543211G G G G G G P =，654372G G G G G P =，6813G G G P =，68174G G H G P -=；121H G L -=，242H G L -=，363H G L -=，45434H G G G L -=，4185H H G L =，56543216H G G G G G G L -=，5654377H G G G G G L -=， 56818H G G G L -=，568179H G G H G L =；321928252323121911L L L L L L L L L L L L L L L L i i -++++++-=∆∑=；11=∆，12=∆，24431H G +=∆=∆；∆++++=)1)(()()(244321H G P P P P s R s C ；题2-21解图 系统信号流图题2-22图 系统信号流图第3章 线性系统的时域分析本章重点：线性系统的时域指标；掌握闭环极点与动态响应的关系。
时域指标p σ、p t 和s t ； ⇔ 特征参数ζ和n ω。
P49线性定常系统的重要特性 线性定常系统对输入信号导数的响应，等于系统对该信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。
P57(p134)3-4已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(e 5.1210)(2.1 +-=-t t c t ，试求系统的超调量p σ、峰值时间p t 和调节时间s t 。
解：方法一，先计算闭环传递函数，再计算ζ和n ω；}6.1cos 1.53sin 6.1sin 1.53cos )1.536.1{sin(t t t +=+)()(144.24106.1)2.1()2.1(8.06.16.05.1210)(222s R s ss s s s s s C Φ=++⨯=+++⨯+⨯-=；即得 4.22=n ζω，42=n ω；2=n ω，6.0=ζ；%5.9)1/exp(2=--=ζζπσp ；9635.1/==d p t ωπ秒；5.2)/(3==n s t ζω秒,05.0=∆；33.3)/(4==n s t ζω秒,02.0=∆。
方法二，直接根据典型二阶系统单位阶跃响应计算ζ和n ω；⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---=+-=--)arccos 1sin(11110)1.536.1sin(5.1210)(222.1ζζωζζωt e t e t c n t tn，6.01.53cos == ζ，2.1=n ζω，)6.11(2=-ζωn ，2=n ω；P62 (p136)3-16 知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求静态位置误差系数p K ，静态速度误差系数v K ，静态加 速度误差系数a K(1) )12)(11.0(50)(++=s s s G ；｛ )(lim 0s G K s p →= ｝(2) )2004()(2++=s s s Ks G ；｛ )(lim 0s G s K s v →= ｝(3) )102()14)(12(10)(22++++=s s s s s s G 。
｛)(lim 20s G s K s a →= ｝解：(1) 50=p K ；0=v K ；0=a K ；(2) ∞=p K ；K K v 005.0=；0=a K ； (3) ∞=p K ；∞=v K ；1=a K ；P62 (p136)3-17设单位反馈系统的开环传递函数为)/(1)(Ts s G =。
试用稳态误差级数法求出，当输入信号分别为2/)(21t t r =和t t r 2sin )(2=时，系统的稳态误差。
解：TsTss e +=Φ1)(；00=c ，i i T c )(--=，0>i ；( 解题基本步骤参阅P56 3.6.4 )2/)(21t t r =：t t r =')(1，1)(1=''t r ，0)()(1=t r i ，2>i ； )()()()()(121101T t T t r c t r c t r c t e ss -=''+'+=；t t r 2sin )(2=时，有两种解法；(1)稳态误差级数法：t t r k k 2sin )2()(2)2(2-=，t t r k k 2cos )2(2)(2)12(2-=+，0≥k ；∑∑∑∞=∞=+∞=-+-==00212220)(222cos )2(22sin )2()(k k k k kk i i i ss t c t c r c t et T Tt T T t T t T k k k kkk 2cos 1422sin 1442cos )2()1(2sin )2()1(210221221+++=-+-=∑∑∞=∞=++；)2sin()(2φ+=t A t e ss ，式中 2/12)14/(2+=T T A ，A arccos =φ。
*(2)据)2(j e Φ计算（频率响应）：2/12)41(2|)2(|-+=ΦT T j e ，)]2/(1arctan[)2(T j e =Φ∠；)2sin()(2φ+=t A t e ss ，式中 2/12)14/(2+=T T A ，A T arccos )]2/(1arctan[==φ；P56 3.6.4稳态误差级数和动态误差系数(t 足够大)要了解稳态误差随时间变化的情况，需使用稳态误差级数。
计算稳态误差级数的基本步骤：(1) 正确计算误差传递函数)(s e Φ、)(s n e Φ；(2) 计算输入信号)(t r 的各阶导数)()(t r i ，I i ,,0 =；0)()(=t r i ，I i >； 计算扰动信号)(t n 的各阶导数)()(t n j ，J j ,,0 =；0)()(=t n j ，J j >； (3) 依据)(s e Φ用长除法计算动态误差系数i c ，I i ,,0 =；依据)(s n e Φ用长除法计算动态误差系数j d ，J j ,,0 =；(4) 计算稳态误差∑∑==+=Jj j j Ii i i ss t n d t rc t e 0)(0)()()()(。
P52 3.4.2 闭环主导极点高阶系统能够用不具有零点的二阶系统近似的条件：有一对距离(记为d )虚轴最近的共轭复数极点，且附近无闭环零点，其余的零点和极点远离(d 5>)虚轴或零极点几乎相消。
高阶系统可以近似为：)(lim 0s k s Φ=→，)(221p p n +-=ζω，212p p n=ω；2222)()(nn ns s k s s ωζωω++=Φ≈Φ。
易知，系统的时域性能指标可以用典型二阶系统的计算公式近似计算。
第4章 根轨迹法研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。
要点：绘制180°根轨迹图P76 (p167)4-8 设负反馈系统的开环传递函数)204)(4()(2+++=s s s s ks G ，试概略绘制该系统的根轨迹图。
解：*422,1j p ±-=，03=p ，44-=p ；4=-m n ；*渐近线，2-=a σ，135,45±±=a φ； *实轴上的根轨迹，)0,4(-；*与实轴的交点和重根点，0)104)(2(2=+++s s s21-=s ，641=k ；4495.222,2j s ±-=，1002=k ；*起始角，90)42()42(901-=+∠-+-∠-=j j p θ； 902=p θ*与虚轴的交点，Re ：03624=+-k ωω，Im ：0)10(2=-ωω；1623.3±=ω，260=c k 。
系统的根轨迹图如题4-8解图所示。
P70 规则5：根轨迹与实轴的交点(闭环系统的重极点、分离点)，满足方程0)()()()(=-s d s B d s A s B s d s A d ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)()()(s A s B k s G ；P869. 已知负反馈系统的开环传递函数G (s )，试选择k 值，使闭环系统的超调量σp ≤25%，调节时间t s ≤10 秒。