23
3. 画剪力与弯矩图
剪力图:
FS1

bF l
FS2


aF l
弯矩图:
M1

bF l
x1
最大值:
M2

aF l
x2
FS,max

bF l
（b a 时）
4. 讨论
在 F 作用处，左右横截面上 的弯矩相同，剪力值突变
M max

Fab l
FS右 FS左 F
单辉祖：材料力学Ⅰ
解：1. 形状判断 2. FS 与 M 计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
斜线
sl/8
sl/8 -3sl/8
0 sl2/16 sl2/16 0
34
3. 画FS与M图
单辉祖：材料力学Ⅰ
9sl2/128
xD 3
l 2

xD
1
xD

3l 8
MD

3ql 8
3l 8

q 2

3l 8
2

9ql 2 128
Fy 0, FS qdx (FS dFS ) 0 (a)
MC 0,
M

dM

qdx

dx 2

FSdx

M

0
(b)
dFS q dx
dM dx

FS
d2M dx 2

q
梁微分平衡方程
注意： s 向上为正 x 向右为正
单辉祖：材料力学Ⅰ
29
利用微分关系画 FS 与M 图
10
常见静定梁
梁的类型
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁 外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁
静不定梁 约束反力数超过有效平衡方程数的梁
单辉祖：材料力学Ⅰ
11
§3 剪力与弯矩
剪力与弯矩 正负符号规定 剪力与弯矩计算 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
任一截面的弯矩
等于截面左侧（右侧）所有外力
对截面形心矩的代数和
不论取左 取右
朝上的外力产生正的弯矩
反之为负
单辉祖：材料力学Ⅰ
16
计算方法与步骤
假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正
由 S Fy = 0 计算 FS 由 S MC = 0 计算 M，C 为截面形心
水平线
斜直线
q(x) = q = 常量
dFQ(x) dx
=
q
q>0
q<0
斜直线
斜直线
d
2M(x) dx 2
=
q
q>0
q<0
极大值
极小值
抛物线
抛物线
31
应用 利用微分关系画梁的剪力与弯矩图
1. 问题分析
s=0，FS 图－水平直线，M 图－直线
求 FSA+ 画 FS 图
求 MA+ 与 MB- 画 M 图
)

F
1

2
l


0
l
2
Mmax

M

l 2


Fl 4
单辉祖：材料力学Ⅰ
27
§5 载荷集度、剪力与弯矩间 的微分关系
FS , M 与 s 间的微分关系 利用微分关系画 FS 与 M 图 例题 微分关系法要点
单辉祖：材料力学Ⅰ
28
FS ，M 与 s 间的微分关系
24
例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
2. 建立剪力与弯矩方程 AB 段
FS1 qx1
M1


qx12 2
单辉祖：材料力学Ⅰ
(0 x1 a) (0 x1 a)
FCy qa,
MC

qa2 2
BC 段
FS2 qa (0 x2 a)
单辉祖：材料力学Ⅰ
8
§2 梁的约束与类型
约束形式与反力 梁的类型
单辉祖：材料力学Ⅰ
9
约束形式与反力
主要约束形式与反力
可动铰支座：垂直于支承平面的支反力 FR 固定铰支座：支反力 FRx 与 FRy 固定端：支反力 FRx , FRy与矩为 M 的支反力偶
单辉祖：材料力学Ⅰ
2qa
FS
qa
qa
qa
qa
qa
M
qa2
qa2
0.5qa2
qa2
单辉祖：材料力学Ⅰ
37
例 5-4 画组合梁的剪力与弯矩图
解：1. 问题分析
组合梁,需拆开,以分析梁的受力 承受集中载荷, FS 与 M 图由直线构成
2. 受力分析
FAy

FCy

F 2
FDy

3F 2
MD

3Fa 2
单辉祖：材料力学Ⅰ
单辉祖：材料力学Ⅰ
17
例题
例 3-1 计算横截面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
FAy 2F FBy 3F
FSD ? MD ?
解： FSE FAy 2F
FSA FAy 2F
ME

Me

FAy
l 2

Fl

2F

l 2

0
M A Me FAy Fl 2F 0 Fl
2. 计算支反力、剪力与弯矩
FAy

FBy

Me l
FSA

FAy


Me l
M A Me
MB 0
单辉祖：材料力学Ⅰ
32
3. 画剪力图
FS 图－水平直线
FSA


Me l
单辉祖：材料力学Ⅰ
4. 画弯矩图 M 图－斜直线
M A Me MB 0
33
例题
例 5-1 画剪力与弯矩图
35
例5-2 外伸梁AB承受载荷如图所示，作该梁的Fs— M图。
F=3kN
q=2kN/m
Me=6kN·m 解：1)求支反力：
C
A
1 1m2 3
D
B
4m 4 5 1m 6
FAy 7.2kN ，FBy 3.8kN
2)判断各段F、M图形状：
FAy
4.2
(kN)
Fs
_
+
E
_
3 x=3.1m 3.8
画剪力图
FS
ql 2
qx
－直线
FS
(0)


ql 2
,
FS
(l
)

ql 2
画弯矩图
M ql x q x2 22
－二次抛物线
土建等类技术部门画法
单辉祖：材料力学Ⅰ
22
例题
例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FAy

bF l
,
FBy

aF l
12
剪力与弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
单辉祖：材料力学Ⅰ
13
正负符号规定
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶部受 压的弯矩为正
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
剪力与弯矩计算
FS－剪力
M－弯矩
Fy 0, FAy F1 FS 0
第十章
弯曲内力
第 10 章 弯曲内力
本章主要研究: 直梁弯曲内力 载荷与弯曲内力间的微分关系
单辉祖：材料力学Ⅰ
2
§1 引言 §2 梁的约束与类型 §3 剪力与弯矩 §4 剪力、弯矩方程与图 §5 FS , M 与 s 间的微分关系
单辉祖：材料力学Ⅰ
3
§1 引 言
弯曲实例 弯曲及其特征
M

FAy

x

qx

x 2
M ql x q x2 (0 x l) 22
FS , M 沿杆轴（x轴）变化的解析表达式 FS FS ( x) －剪力方程 M M( x)－弯矩方程
单辉祖：材料力学Ⅰ
21
剪力与弯矩图
表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况 的图线，分别称为剪力图与弯矩图
M2

4.5FAy

3F

q1.52 2

30kN
m
4)也可取右段研究，结论相同。
单辉祖：材料力学Ⅰ
19
§4 剪力、弯矩方程与图
剪力与弯矩方程 剪力与弯矩图 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
20
剪力与弯矩方程

FAy

FBy

ql 2
FS FAy qx
FS


ql 2

qx
(0 x l)
FSD F MD F 0 0
单辉祖：材料力学Ⅰ
18
例3-2 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
解：1)求支反力：
A 2m
1.5m
1 1
1.5m
2 2 1.5m
3m
B MB 0：