合阳中学2014-2015学年第一学期高二第一次月考数学试题（卷）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间为120分钟。

2、答案写在答题卷指定的位置上，写到边框外不能得分。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）12123个实数成等比数列，则b （a﹣a）=（）．ABC∆o60A=，a=b=B等于（）A. o45B.o135 C.o45或o135 D. 以上答案都不对5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）．C．．塔M原来在轮船的北偏东10°方向上．经过40分钟，轮船与灯塔的距离是浬，则灯塔和轮船原来的距离为（）食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（）A.甲B.乙C.一样低D.不确定8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）na9101920(0),a a a a a a b+=≠+=99100a a+=A．109baB．9()baC．98baD．10()ba10．在有穷数列{a n}中，S n是{a n}的前n项和，若把称为数列{a n}的“优化和”，现有一个共2009项的数列{a n}：a1，a2，a3，…，a2009，若其“优化和”为2010，则有2010项的数列1，a1，a2，a3，…，a2009的“优化和”为（）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．若a=ccosB，且b=csinA，那么△ABC的形状是12．已知{}n a的前项之和21nnS=+，则此数列的通项公式为_________．13．若不等式022>++bxax的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-31,21，则ba+的值为________。

14.已知数列{ an}满足条件a1= –2 , an + 1=2 +nna1a2-, 则a5=15．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1．第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．等差数列{a n }中，a 4=10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20．17．如图，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45°，假设建筑物高50m ，设山对于地平面的斜度θ，求cosθ的值． 18．若S n 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列。

(1)求等比数列124,,S S S 的公比；(2)若24S =，求{}n a 的通项公式； （3）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。

19．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，试确定实数a 的取值范围．20．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．21． 已知二次函数2()f x ax bx =+满足条件: ① (0)(1)f f =; ② ()f x 的最小值为18-. (Ⅰ) 求函数()f x 的解析式;(Ⅱ) 设数列{}n a 的前n 项积为n T , 且()45f n n T ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ) 在(2)的条件下, 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 试问数列{}n b 中第几项的值最小? 求出这个最小值.第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2•a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为，则S 5=（ ）=2³，====又∵12123．解：由题得， A. o 45 B.o 135 C.o 45或o 135 D. 以上答案都不对 解:选 A5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，． ．C ．D ．b=a ，=塔M 原来在轮船的北偏东10°方向上．经过40分钟，轮船与灯塔的距离浬OA=AB=（食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（ ） A.甲 B.乙 C.一样低 D.不确定 答案 B 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB c=2bc ={}n a 9101920(0),a a a a a a b +=≠+=99100a a +=A ．109b a B ．9()b a C ．98b aD ．10()b a解答:101920910a a b q a a a +==+，90109999100910()()a a b q q a a a+===+，99991009108()()b b a a a a a a +=+=故选C10．在有穷数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，若把称为数列{a n }的“优化和”，现有一个共2009项的数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a 2009，若其“优化和”为2010，则有2010项的数列1，a 1，a 2，a 3，…，a 2009的“优解：∵∴11．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边．若a=ccosB ，且b=csinA ，那么△ABC 的形状是解：由余弦定理得：a=c•⇒，所以b=c•=a n a 21n n S =+ 解：当n=1时，111213a S ==+=当n ≥2时，111(21)(21)2nn n n n n a S S ---=-=+-+= ∵21-1=1≠3，∴13(1)2(2)n n n a n -=⎧=⎨≥⎩13．若不等式022>++bx ax 的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,21，则b a +的值为________。

答案：14-14.已知数列{ a n }满足条件a 1 = –2 , a n + 1 =2 +nn a 1a 2-, 则a 5 =答案：10715．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1．第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 ．解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8．在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次．三、解答题 16．等差数列{a n }中，a 4=10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20．于是=20³7+190=330．山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45°，假设建筑物高50m ，设山对于地平面的斜度θ，求cos θ的值．∴由正弦定理得：=，³﹣³=，∴由正弦定理得：=，==﹣n n a 124,,S S S (1)求等比数列124,,S S S 的公比； (2)若24S =，求{}n a 的通项公式；（3）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。

解：∵数列{a n }为等差数列，∴112141,2,46S a S a d S a d ==+=+，∵S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴ S 1²S 4 =S 22∴ 2111(46)(2)a a d a d +=+，∴212a d d = ∵公差d 不等于0，∴12d a =（1）211144S a q S a === （2）∵S 2 =4，∴124a d +=，又12d a =，∴11,2a d ==， ∴21n a n =-。

（3）∵3311()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+ ∴3111[(1)()2335n T =-+-+…11()]2121n n +--+313(1)2212n =-<+ 要使20n m T <对所有n ∈N*恒成立，∴3202m ≥，30m ≥，∵m ∈N*， ∴m 的最小值为30。

19．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，试确定实数a 的取值范围．解： 当2=a 时，原不等式变形为04<-，恒成立， 即2=a 满足条件；当 2≠a 时，要使不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，必须02<-a 0)2(44)2(42<-⨯+-=∆a a 2<a22<<-a ，解得，22<<-a ． 综上所述，a 的取值范围是22≤<-a ．20．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小； (2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．解：(1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝a sin C sin A ＝23sin C ， 则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)． ∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]． 21． 已知二次函数2()f x ax bx =+满足条件: ① (0)(1)f f =; ② ()f x 的最小值为18-. (Ⅰ) 求函数()f x 的解析式;(Ⅱ) 设数列{}n a 的前n 项积为n T , 且()45f n n T ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ) 在(2)的条件下, 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 试问数列{}n b 中第几项的值最小? 求出这个最小值.解: (Ⅰ)题知: 200148a b a b a⎧⎪+=⎪⎪>⎨⎪⎪-=-⎪⎩ , 解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ , 故211()22f x x x =-. (Ⅱ)221245n n n n T a a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭, 2(1)(1)211214(2)5n n n n T a a a n -----⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭,114(2)5n n n n T a n T --⎛⎫∴==≥ ⎪⎝⎭, 又111a T ==满足上式. 所以14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.(3) 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 则25()n n n f a b a ⨯=+,从而21110()22n n n n a a b a -=+, 得2239565()55n n n n b a a a =-=--.因为14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭是n 的减函数, 所以当35n a ≥, 即3()n n N *≤∈时, n b 随n 的增大而减小, 此时最小值为3b ;当35n a <, 即4()n n N *≥∈时, n b 随n 的增大而增大, 此时最小值为4b .又343355a a -<-, 所以34b b <, 即数列{}n b 中3b 最小, 且2223442245655125b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.。