答案：A
探究三：应用基本不等式证明不等式
[例 3] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.
证明：因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以 1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba. 同理 1＋1b＝2＋ab. 所以(1＋1a)(1＋1b) ＝(2＋ba)·(2＋ab) ＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9. 所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当 a＝b＝12时等号成立)．
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)．
3.柯西不等式
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2(a,b,c,d R) 当且仅当ad bc时,等号成立. (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
出能运用基本不等式的条件．
解析：(1)2x＋3y≥2 x6y，∴2 x6y≤2，∴xy≥6.(等号在 x ＝2，y＝3 时成立)
故 xy 的最小值为 6. (2)由 2x＋8y－xy＝0 得 y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝x－2x8. u＝x＋y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x1－68＋16
(4)柯 西 不 等式 的 向 量 形 式 .
当 且 仅 当 是 零 向 量,或 存 在 实 数k, 使 k 时, 等 号 成 立.
(5) (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2 , y2 R,
那么
x2 1
y2 1
x2 2
y2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
答案：B
变式训练1
(2012·陕西文，10)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和
b(a<b)，其全程的平均时速为 v，则( )
A．a<v< ab
B．v＝ ab
a＋b C. ab<v< 2
D．v＝a＋2 b
解析：v＝1a＋2 1b＝a2＋abb<22aabb＝ ab，
因为
v－a＝
2ab
2ab－a2－ab ab－a2 a2－a2
答案：B
变式训练2
(2012·山西四校第一次联考)设 x、y∈R，a>1，b>1，若 ax＝by
＝2，a＋ b＝4，则2x＋1y的最大值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：依题意得 4＝a＋ b≥2 a· b(当且仅当 a＝ b时，等 号成立)，则 a b≤4，a2b≤16，又 x＝loga2，y＝logb2，所以2x＋ 1y＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)≤log216＝4，即2x＋1y的最大值是 4， 故选 A.
y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
2．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；ab≤a2＋2 b2(a、b∈R) a2＋b2_≥___a＋2b2(a、b∈R)；ab_≤___a＋2 b2(a、b∈R) a＋2 b2_≤___a2＋2 b2(a、b∈R)，以上各等号在 a＝b 时成立．
(2)ab＋ba≥2(a、b 同号)，特别地1a＋a≥2(a>0)，1a＋a≤－ 2(a<0)．
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 x－8·x－168＋10＝18. 等号在 x－8＝x－168即 x＝12，y＝6 时成立． ∴x＋y 的最小值为 18.
变式训练1
已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( )
A．3
B．42
解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤(x＋22y)2， ∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0 解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去) ∴x＋2y 的最小值为 4(当且仅当 x＝2y＝2 时取等号)．
a4－b4
a＋b
C. a－b <2ab< 2 <b
D．2ab<a＋2 b<b<aa4－－bb4
解析：∵b>a>0，a＋b＝1，∴b>12，∴2ab<a＋2b2＝a＋2 b， 且 a2＋b2>a＋2b2＝12.∴aa4－ －bb4＝(a＋b)(a2＋b2)>a＋2 b.又aa4－ －bb4 －b＝a2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝(1－b)(1－2b)<0.故应选 B.
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
探究一：应用基本不等式比较大小
[例 1] 已知 b>a>0，且 a＋b＝1，那么( )
A．2ab<aa4－－bb4<a＋2 b<b
B．2ab<a＋2 b<aa4－－bb4<b
－a＝
＝
>
＝0，所以
a＋b
a＋b
a＋b a＋b
2ab >0，故选 A. a＋b
答案：A
探究二：应用基本不等式求最值
[例 2] (1)已知2x＋3y＝2(x>0，y>0)，求 xy 的最小值． (2)若 x、y∈R＋，且 2x＋8y－xy＝0.求 x＋y 的最小值．
分析：(1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解． (2)可消去一个变量，将 x＋y 用一个变量表示，再配凑
知识梳理
1．基本不等式：对任意 a、b∈_R_＋__，有a＋2 b≥ ab成立， 当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时，x ＋y 有最_小__值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时， xy 有最__大__值S42.