一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（一）一元二次方程根的判别式和根系关系是中考的重点内容之一，即可以单独出现，又可能在代数综合题、几何综合题、应用题中出现，我们准备用两节课的时间，帮助同学们复习这一内容。
例1不解方程判断下列关于x的一元二次方程根的情况⑴3x2 2 2®⑵3x21恵X 2 2⑶ax2bx 0⑷x22mx 4m 4 解：运用判别式先要将方程化为一般形式⑴ 3x226x 2 0(2 .6)2 4 3 2 0方程有两个相等实数根、3x2(,2)2 4 3 2 2 8、3 0方程没有实数根⑶ 方程是一元二次方程a 0 c 02 2b 4 a 0 b 0方程有两个实数根⑷ x2 2mx 4(m 1) 02 2 2(2m) 4 1 4(m 1) 4m 16m 16 4(m 2) 0 方程有两个实数根2解：错误解法(2m) 4(m 1)(m 2)2 2=4m 4( m m 2)=4(m 2) 0m 2注意：应用一元二次方程判别式，首先方程应为一元二次方程，当二次项系数含有字母时，要加上二次项系数可为0这个限制条件。
m 1 0 m3正确解法0 m 2m 2 且m 12 2解：(3 m 1) 4m(2m 1) = m 2m 1m2 2m 1 1m2 2m 0m10 m2 2注意m 0 舍去m 0m 2例4已知关于x的方程(m 1)x2 2mx m 0有实数根，求m的取值范围。
解：注意本题并没有说方程是一元二次方程，也没有说方程有两个实数根。
一1⑴m 1 0 m 1方程为一兀一次方程2x 1 0有一个实根x 一2⑵ m 1 0 m 1方程为一元二次方程(2m)2 4m(m 1) 4m 0m 0且m 1时方程有两个实数根综上，当m 0时方程有实根。
小结：⑴ 应用判别式的条件是方程为一元二次方程，当二次项系数为字母时，注意系数不为o ；⑵应用判别式应将方程化为一般形式；⑶ 注意有实根和有两个实根的区别。
问题：1 1解：•/ 1 即--------- 1又(2 m 3)2m(2 m 3) m2例6已知方程x2 3x 1 0的两个根为11112= =例7已知方程x 4x 1 0的两个实数根为,求作一个以1为根的1解之得mh 3 m2 1 当m 3时0当m 1时2(2 1 3) 4 1 0 舍去••• m 32解：••• 3 4 115 0兀二次方程。
解：首先42 4 0方程有两个不等实根法1 4 , 12 1 2 1 (21)2( 2 2 4 4 2 21)2 4 42( 2 2) 221 21 (21)( 2 2 2 2 21) 12 2 ( )2 2 16 2 144 4 22 2 _ 2 2 “ 2 - —( ) 2 14 2 194 2 1 2 1 194 2 14 2+ 142 1 2 1 1 14 11 -=11所求方程为寸14y 1 0法2 注意到,均为原方程的根2 4 1 0 2 1 42 4 1 0 2 1 42 1 21 4 4 2 22 1 21 4 4这样计算较为简单。
2 2例8⑴已知实数a b且a a 1 0, b b 1 0，求a b的值。
2解：由已知a,b是方程x x 1 0的两个不等实根a b 12 2解：由p p 1 0及1 q q 0可知p 0, q 01又pq 1 p - q1 2 1由1 q q20 (—)2(—) 1 0q q2又p2 p 1 0p与丄可看作方程x2 x 1 0的两个不等实根q2解：依题意a,b都是方程x 2x 2 0的实数根①当当a b时a,b是x22x 2 0的两个不等实根a b 2ab 21 1 a b dda b ab②当当a b时a, b是x22x 2 0的同一个实数根x 1 -3当当a b = 1 3 时丄1 2 2 门------ 、3 1a b a 1 、3当当a b = 1- 3时丄1 2—— 1 、•3a b a 1.3例9 已知X1,X2是一元二次方程x2 2x m 1 0 的两个实数根，且满足解：X i X 22不对称，利用根系关系X-I (x 1 X 2) 11 X代入方程,2「 7亠 当m —时，4 7m -解：已知X-I X2 4 1 ,X 1X 2 - 1 , 82 X1X 22(4)22(? 1)，4x 12 mx 1小 2 1 26x 1 mx 1 m 22X 2 8=4x 2 1 mx 1 1 m 4 2(X 12X 22)42不对称，利用方程和根系关系1 m 4 0,22X i X 1X 2 1，求 m 的值。
1 X 12 可求出 m —44 4( - 1) 1 0421 2 根，且满足 6% mx 1-m 2X 28 0,求m 的值。
m 2 m =2( 4)4(8 1) 4 0,m 、2 〜m(丁)2(： 1) 2 0 482m 4m 0 m 10, m 2 4m 28m 64当m 0,4时二m 0 或4分析：求一元二次方程两根差的方法有两种① 求出X i,X2，(X i X2)2易得②(X i X2)2= (X i X2)2 4X i X2由根系关系可得解：⑴当a 1 , cX i3时，原方程为X2(X i2X 3X2)21 , X2 3, m 16 4成立当a 2 , c .2时, 原方程为2X24X 2 0i--42 4 2 2 0、2X i X2 2 ,X1X2 —2m (X i X2 )2(X i X2)24X X2=4 2 2 4 不成立⑵设方程的两个实数根为X i, X22 2m (x i X2 ) (X-I X2)4X 1X 2 = 44c a对于任意非零实数 a ， 4 4c accX i X 22， X i X 2a4ca••• c 0当 c 0,4a 2例12已知关于X 的两个方程22x(m 4)x (m 4) 0 ① 和 mx 2(n 2)x (m 3) 0②方程①有两个不相等的负实数根，方程 ②有两个实数根。
⑴求证：方程②的两根符号相同；⑵ 设方程②的两根分别为，，若:1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值。
分析：利用判别式和根系关系可判别方程两根符号此时当ba0,两根同为负数①若c0 a两根同号.b 当_ 0,两根同为正数a②若c两根异号此时.b 当-0 ,正根绝对值小于负根绝对值aa当b0,正根绝对值大于负根绝对值ar b 当_ = :0，两根绝对值相等a③若C= 0即 c 0 两根至少有个为零a此时当b0,另一根必为负数K 当一0 ,另一根必为正数a当b= 0，即b 0另一根也为零a⑴证明：设X i,X2为方程①的两个实数根i 0由已知x1 x20x1x20n 23m 晋)3m(n 2)2m(m 23)n 不是整数n 11 或 n 722) 4m(m 3) 0 22) 4m(m 3)2(m 4)4 2(m 4) 0即m 40 2m 4小0 2解得m 4由方程②有两个实根可知 m 0m 3•••当m 4时，0 ,方程②有两根之积为正。
m方程②有两根符号相同。
n 2 m m 3m由⑴m 4，又m 为整数2当 m 5时 (n 2) 45 当 m 6时 (n 2)281当 m 6,n 11 时 2 (n 当 m 6,n7 时 2 (nm 的最小整数值为6小结：⑴ 在使用根系关系时，要注意前提条件：二次项系数⑵ 求和两根有关的代数式：如果是对称式，可用根系关系;⑶根系关系和判别式相结合可判断两根的符号学习课件等等THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书,打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。