[答案] 12[解析] 考查函数的奇偶性．∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，即12－1－1＋a ＝－12－1－a ，∴a ＝12.（四）典型例题1.命题方向：奇偶性的判定 [例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(x －1)1＋x 1－x ； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x <0x 2－x x >0； (4)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.[解析] (1)由1＋x1－x≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝－lg (1－x 2)x ，∵f (－x )＝－lg[1－－x2]－x＝lg 1－x 2x＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ＝f (x ) 当x >0时，－x <0则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝f (x )∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数．另解：1°画函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x <0x 2－x x >0的图像．图像关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．2°f (x )还可写成f (x )＝x 2－|x |，故为偶函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0x 2－3≥0得x ＝－3或x ＝ 3 ∴函数f (x )的定义域为{－3，3}又∵对任意的x ∈{－3，3}，f (x )＝0. ∴f (－x )＝f (x )＝－f (x )(5)函数f (x )的定义域为R当a ＝0时 f (x )＝f (－x ) ∴f (x )是偶函数 当a ≠0时 f (a )＝a 2＋2，f (－a )＝a 2－2|a |＋2f (a )≠f (－a ) 且f (a )＋f (－a )＝2(a 2－|a |＋2)＝2(|a |－12)2＋72≠0∴f (x )是非奇非偶函数．[点评] 第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x 的围取相应的函数表达式或利用图像判断． 跟踪练习1判断函数f (x )＝16－x 2|x ＋5|－5的奇偶性．[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－x 2≥0|x ＋5|－5≠0解得－4≤x <0或0<x ≤4，∴函数的定义域关于原点对称． ∵f (x )＝16－x 2|x ＋5|－5＝16－x 2x，∴f (－x )＝16－(－x )2－x ＝－16－x 2x＝－f (x )．∴f (x )是奇函数.2.命题方向：奇偶性的应用[例2] 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y 1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x －2即为t ·2x －t2x ＋1≥2x －2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋1×1＋t －2≤022－t ＋1×2＋t －2≤0，解得t ≥0.（五）思想方法点拨1．判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y ＝x 2(x ∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此， 一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称． ★函数奇偶性的判定方法：(1)定义法：第一步先看函数f (x )的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数． 第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．即若有：f (－x )＝－f (x )或f (－x )＋f (x )＝0或f (x )－f (－x )＝2f (x )或f (x )·f (－x )＝－f 2(x )或f (x )/f (－x )＝－1为奇函数．若有f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0或f (x )＋f (－x )＝2f (x )或f (x )·f (－x )＝f 2(x )或f (x )/f (－x )＝1为偶函数． (2)图像法：利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称”来判断． (3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”． (4)性质法[例2]比较下列各组值的大小：（1）138--和1319-⎛⎫⎪⎝⎭(2) 254.1、253.8-和35(1.9)--（3）0.50.2和0.30.4[分析] 比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值．[解析]（1）-131()9=139--由于幂函数13y x-=在(0,)+∞上是减函数，所以138-＞139-，因此138--＜139--，即138--＜-131()9（2）由于254.1＞1,0＜253.8-＜1，35(1.9)--,0，因此254.1＞253.8-＞35(1.9)--.(3)由于指数函数0.2xy=在R上是减函数，所以0.50.2＜0.30.2。

又由于幂函数0.3y x=在(0,)+∞上是增函数，所以0.30.2＜0.30.4，故有0.50.2＜0.30.4.跟踪练习3当0﹤a﹤b﹤1时，下列不等式正确的是（）[答案] D[解析] 由0<a<b<1，可知a<b,0<a<1，[答案] D[解析] 因为23∈(0,1)，所以23y x=的图像是抛物线型，且在第一象限图像上凸，又函数23y x=是偶函数，故图像应为D.2．(2011·模拟)给出下列三个等式：f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋y )＝f (x )f (y )，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，下列函数中不满足任何一个等式的是( ) A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝x αC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝kx (k ≠0)[答案] B[解析] f (x )＝3x 满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )；f (x )＝log 2x 满足f (xy )＝f (x )＋f (y )；f (x )＝kx 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，而f (x )＝x α不满足任何一个等式．3．函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3是幂函数且在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值为( ) A ．－1或2 B.1±52C ．2D ．－1[答案] C[解析] 因为y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3是幂函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m 2－2m －3<0，解得m ＝2.4．设n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使得f (x )＝x n 为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] 只有当n ＝－1时，f (x )＝x n 为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．5．(2010·文)设253()5a =，352()5b =，252()5c =则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a[答案] A[解析] 该题考查幂函数和指数函数的性质．对b 和c ，考查指数函数y ＝(25)x ，单调递减．故352()5＜252()5，即b <c .对a 和c ，考查幂函数． y =25x，在(0，＋∞)上单调递增，∴253()5＜252()5，即a >c ，∴a >c >b ，故选A. 6．若集合A ＝{y ︳y =13x，－1≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．[－1,1]C ．∅D ．{1}[答案] D [解析] y =13x在－1≤x ≤1时，有－1≤y ≤1；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在x ≤0时，有y ≥1，∴A ∩B ＝{1}．7．(文)(09·)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是假命题，故否命题也为假．所以真命题个数为1. (理)函数9ny x=(n ∈N 且n >9)的图像可能是( )[答案] C[解析] ∵f (－x )＝9nx-=9nx=f(x)，∴函数为偶函数，图像关于y 轴对称，故排除A 、B.令n ＝18，则y ＝12x，当x ≥0时，y ＝12x，由其在第一象限的图像知选C.8．把函数f (x )＝x 3－3x 的图像C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图像C 2，若对任意u >0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3(x 2－1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1. ∴x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－1)上为增函数；x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，f (x )在(－1,1)上为减函数； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )极大值＝f (－1)＝2，f (x )极小值＝f (1)＝－2.图像C 2是由图像C 1向右平移u 个单位长度，向下平移v 个单位长度所得到．当图像C 2的极大值点与C 1的极小值点重合时，v 有最小值，如图所示，即v 的最小值为4.二、填空题9．(2011·模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，则k ＋α＝________.[答案] 32[解析] f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，由幂函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，得α＝12，则k ＋α＝32. 10．若，则它们的大小关系是________．[答案] c <b <a [解析]，即c <b <a .。