讲义三 基本初等函数知识点1、指数函数及其性质1．指数函数的概念函数□09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．说明：形如y ＝kax ，y ＝ax ＋k(k ∈R 且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．2．指数函数的图象和性质1．(na )n ＝a (n ∈N *且n >1)． 2.n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数且n >1，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数且n >1.3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a >0，且a ≠1时，函数y ＝a x 与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称．考点一 指数函数的图象及应用例1 (1)(2019·山西模拟)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 (2)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．变式训练1.函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )5．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 考点二 指数函数的性质及其应用 角度1 比较指数幂的大小例2 (1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是( ) A ．3－23<3－4<32 B ．32<⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 <33 C ．2.60<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.6<22.6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.6<2.60<22.6(2)(2019·金版创新)已知实数a ，b 满足等式2018a ＝2019b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个变式训练2．已知0<a <1，x >y >1，则下列各式中正确的是( ) A ．x a <y a B ．a x <a y C ．a x >a y D ．a x >y a 角度2 解简单的指数不等式例3 (1)(2019·宜昌调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) (2)(2018·洛阳模拟)若对于任意x ∈(－∞，－1]，都有(3m －1)2x <1成立，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 变式训练3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3} 角度3 与指数函数有关的复合函数问题 例5 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．变式训练4．已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2,2]上单调递减，则m 的取值范围为________．知识点2 对数及对数函数1．对数的定义如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作□01x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 (1)log a (M ·N )＝□02log a M ＋log a N ， (2)log a M N ＝□03log a M －log a N ， (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图象与性质4．反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝□07log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□08y ＝x 对称．1．对数的性质(a ＞0且a ≠1)(1)log a 1＝0；(2)log a a ＝1；(3)a log aN ＝N . 2．换底公式及其推论(1)log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)；(2)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log ba ；(3)log a m b n ＝nm log a b ；(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．考点1 对数的化简与求值例1 (1)化简12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________. (2)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(3)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝____，b ＝_____.考点2 对数函数的图象及其应用例2 (1)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)（2）.已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )考向三 对数函数的性质及其应用 角度1 比较对数值的大小例3 已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 角度2 解简单的对数不等式例4 (1)(2019·福建厦门模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(2)(2018·西安模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________．变式训练5.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)考向四 与对数有关的复合函数问题例5 已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数f (x )在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值．变式训练6．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．知识点3 幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义：形如□01y＝x的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数的图象和性质1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．考点1 幂函数的图象与性质例1 (1)(2019·九江模拟)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2(2)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 23 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 13，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a变式训练 7.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2考点2 求二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．变式训练 8.已知二次函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝0，f (1)＝1，求f (x )的解析式．考点3 二次函数的图象与性质 角度1 二次函数的单调性例3 函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1,3]上为增函数，则a 取值范围是( ) A ．a ＝0 B ．a <0 C ．0<a ≤13 D ．a ≥1角度2 二次函数的最值问题例4 (1)(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)如果函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a ＝______.变式训练 9.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[t ，t ＋2]． (1)求f (x )的最值；(2)当f (x )的最大值为5时，求t 的值．角度3 二次函数中的恒成立问题例5 (2019·合肥模拟)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57变式训练10.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .①若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； ②在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．变式训练11.已知两函数f (x )＝8x 2＋16x －k ，g (x )＝2x 2＋4x ＋4，其中k 为实数．(1)对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求k 的取值范围； (2)存在x ∈[－3,3]，使f (x )≤g (x )成立，求k 的取值范围； (3)对任意x 1，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)，求k 的取值范围．。