江苏省2015年普通高校对口单招文化统考
数 学 试 卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1．已知集合{1,1,2}M =-，2
{1,3}N a a =++若{2}M N ⋂=，则实数a =（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
2．设复数z 满足1iz i =-，则z 的模等于（ ） A 、1
B
C 、2
D
3．函数()sin(2)4f x x π
=-
在区间[0,]2
π
上的最小值是（ ）
A
、2-
B 、12-
C 、1
2
D
、
2 4．有3名女生和5名男生，排成一排，其中3名女生排在一起的所有排法是（ ）
A 、2880
B 、3600
C 、4320
D 、720
5．若1sin()2αβ+=
，1sin()3αβ-=则
tan tan β
α=
（ ） A 、
32 B 、23
C 、35
D 、15
6．已知函数1
()1(01)x f x a a a -=+>≠且的图象恒过定点P ，且P 在直线240
mx ny +-=上，则m n +的值等于（ ）
A 、1-
B 、2
C 、1
D 、3
7．若正方体的棱长为2，则它的外接球的半径为（ ） A
B
、 C
D
8．函数2log (01)
()1()(1)2
x
x x f x x <≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩的值域是（ ） A 、1(,)
2-∞ B 、1(,)2+∞
C 、1(0,)2
D 、(,0)-∞
9．已知过点P （2，2）的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则
a 的值是（ ）
A 、12-
B 、2-
C 、1
2
D 、2-
10．已知函数()lg f x x =，若0
a b <<且()()f a f b
=，则2a b +的最小值是（ ）
A
B 、
C 、
D 、
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．逻辑式ABC ABC AB A +++= 。
12．题12图是一个程序框图，则输出的值是 。
题12图
13．
14．某班级从甲、乙、丙三名同学中选一名代表在开学典礼上发言，全班同学参加了投票，得票情况统计如题14表及题14图，则同学乙得票数为 。
题14表 题14图
15．在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的两个顶点为A （-4，0)和
C （4，0），第三个顶点
B 在椭圆
22
1259x y +=上，则sin sin sin B A C
=+ 。
15%
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16．（8分）设函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且当0x ≥时
12()3(1)x f x x m +=+-+，（1）求实数m 的范围；（2）求230x x m -+<不等式的解集。
17．已知函数()log (0,1)a f x k x a a =+>≠的图像过点(8,2)A 和点(1,1)B -。
（1）求常数
k a 和的值；
（2）求111
(3)(5)(7)()()()357
f f f f f f +++++的值。
18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足222()AB AC a b c =-+；（1）
求角A 的大小；（2）若角ABC
a S
==b 和c 。
19．盒中共装有9张各写一个字母的卡片，其中4张卡片上的字母是x ，3张卡片上的字母是y ，2张卡片上的字母是z ，现从中任取3张卡片，求下列事件的概率。
（1）A =｛3张卡片上的字母完全相同｝；（2）B =｛3张卡片上的字母互不相同｝；（3）C =｛3张卡片上的字母不完全相同｝。
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足121()n n a S n N +
+-=∈。
（1）求数列{}
n a 的通项公式；（2）设31log n n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）设1
2n n
c T =
，求数列{}n c 的前100项和100R 。
21．（10分）某职校毕业生小李一次性支出72万元购厂创业，同年另需投入经费12万元，以后每年比上一年多投入4万元，假设每年的销售收入都是50万元，用()f n 表示前n 年的总利润。
注：()f n =前n 年的总收入-前n 年的总支出-购厂支出。
（1）问：小李最短需要多长时间才能收回成本；（2）若干年后，为转型升级，进行二次创业。
现有如下两种处理方案：方案一，年平均利润最大时，以48万元出售该厂；方案二，纯利润总和最大时，以15万元出售该厂。
问，哪个方案更好？ 22．（12分）某学校租用车辆接送188名师生参观爱国主义教育基地，若租车公司现有6辆中巴和8辆大巴可用。
每辆中巴可载客18人，大巴40人。
已知租用一辆中巴的费用为110元，大巴250元，问学校应租用中巴、大巴各多少辆，才能使费用最少？最少费用是多少元？
23．（14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆E ：22221x y a b
+=(0)a b >>
的离心率e =，
过右焦点(,0)F x ，且垂直于x 轴的直线被椭圆E
截得弦长为
3
，设直线(0)y t t =>与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M 。
（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 的方程；（3
）过点P 作圆M 的弦，求最短弦的长。
江苏省2015年普通高校对口单招文化统考
数 学答案
1.B
2.D
3.A
4.C
5.D
6.B
7.C
8.A
9.D 10.B
11．1 12．2111 13．36 14．22
15．
45
16．答：（1）m =-4,（2）(1,4)- 17．答：（1）1,2k a =-=,（2）6- 18．答：（1）2
3
A π=
,（2）4b c == 19．答（1）33
433
95
()84
C C P A C +==，（2）111432392()7C C C P B C ==，（3）79()1()84P C P A =-= 20．答（1）1
3n n a -=，（2）(1)2n n n T +=
，（3）100
101
21．解（1）2(1)
()50[124]72240722
n n f n n n n n -=-+
⨯-=-+-
()0218f n n >⇒<<，所以，小李最短需要2年时间才能收回成本。
（2）方案一：年平均利润2()2407236
402()4022616f n n n n n n n
-+-==-+≤-⨯⨯= 当且仅当36
n n
=即6n =时，年平均利润最大为16万元，此时总利润为16648144⨯+=万元；
方案二：2
2
()240722(10)128f n n n n =-+-=--+
当10n =时，纯利润总和最大128万元，此时总利润为12815143+=万元；
因为144>143，所以方案一更好。
22．解：设应租用中巴、大巴分别为,x y 辆，费用为z 则min 110250z x y =+
184018806
08x y x y +≥⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
当6,2x y ==时，min 1160z =元
23．解：（1）
22
1124
x y += （2）因为点(,)t t 在椭圆上，
所以221,124
t t t +==，所以圆M
的方程为22
(3x y +-= （3
）因为223(
(3222+=<
，所以点(22
P 在圆M 内。
圆M 的圆心为
M
最短弦过点P 且垂直于MP ， 弦长
===。