For personal use only in study and research; not forcommercial use与球有关的切、接问题1.球的表面积公式:S =4πR 2;球的体积公式V =43πR 32.与球有关的切、接问题中常见的组合:(1)正四面体与球:如图,设正四面体的棱长为a ,内切球的半径为r ,外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ,连接CD ,SE 为正四面体的高,在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆.因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O .此时,CO =OS =R ,OE =r ,SE= 23a ,CE =33a ,则有R +r = 23a ,R 2-r 2=|CE |2=a 23,解得R =64a ,r =612a . (2)正方体与球:①正方体的内切球:截面图为正方形EFHG 的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为a ,则|OJ |=r =a 2(r 为内切球半径). ②与正方体各棱相切的球:截面图为正方形EFHG 的外接圆,则|GO |=R =22a . ③正方体的外接球:截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆,则|A 1O |=R ′=32a . (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A 1-AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合.如图,设AA 1=a ,则R =32a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则可以补形为一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R 2=a 2+b 2+c 24=l 24(l 为长方体的体对角线长). 角度一:正四面体的内切球1.(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则S 1S 2=________.解析:设正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1=4·34·a 2=3a 2,其内切球半径为正四面体高的14,即r =14·63a =612a ,因此内切球表面积为S 2=4πr 2=πa 26,则S 1S 2=3a 2π6a 2=63π. 角度二:直三棱柱的外接球2.(2015·唐山统考)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB =AC ,侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB 1A 1的面积为( )A .2B .1 C. 2 D.22解析:选C 由题意知,球心在侧面BCC1B 1的中心O 上,BC 为截面圆的直径,∴∠BAC =90°,△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点,同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中心.设正方形BCC 1B 1的边长为x ,Rt △OMC 1中,OM =x 2,MC 1=x 2,OC 1=R =1(R 为球的半径),∴⎝⎛⎭⎫x 22+⎝⎛⎭⎫x 22=1,即x =2,则AB =AC =1,∴S 矩形ABB 1A 1=2×1= 2.角度三:正方体的外接球3.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形),则该几何体外接球的体积为________.解析:依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,要求的直径就是正方体的体对角线;∴2R =23(R 为球的半径),∴R =3,∴球的体积V =43πR 3=43π.答案:43π角度四:四棱锥的外接球4.(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A.81π4 B .16π C .9π D.27π4解析:选A 如图所示,设球半径为R ,底面中心为O ′且球心为O ,∵正四棱锥P -ABCD 中AB =2,∴AO ′= 2.∵PO ′=4,∴在Rt △AOO ′中,AO 2=AO ′2+OO ′2,∴R 2=(2)2+(4-R )2,解得R=94,∴该球的表面积为4πR 2=4π×⎝⎛⎭⎫942=81π4,故选A. [类题通法]“切”“接”问题的处理规律1.“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.2.“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.[牛刀小试]1.(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆,那么这个空间几何体的表面积等于( )A .100π B.100π3 C .25π D.25π3解析:选A 易知该几何体为球,其半径为5,则表面积为S =4πR 2=100π.2.(2014·陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A.32π3 B .4π C .2π D.4π3解析:选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r=1212+12+(2)2=1,所以V 球=4π3×13=4π3.故选D. 3.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底面边长为6时,其高的值为( )A .3 3 B.3 C .2 6 D .2 3解析:选D 设正六棱柱的高为h ,则可得(6)2+h 24=32,解得h =2 3. 4.(2015·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起,得到四面体A -BCD ,则四面体A -BCD 的外接球的体积为________.解析:设AC 与BD 相交于O ,折起来后仍然有OA =OB =OC =OD ,∴外接球的半径r =32+422=52,从而体积V =4π3×⎝⎛⎭⎫523=125π6. 5.一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O 的球面上,则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________.解析:设等边三角形的边长为2a ,则V 圆锥=13·πa 2·3a =33πa 3;又R 2=a 2+(3a -R )2,所以R =233a ,故 V 球=4π3·⎝⎛⎭⎫233a 3=323π27a 3,则其体积比为932. [高考全国课标卷真题追踪]1.(15课标1理)已知,A B 是球O 的球面上两点,090AOB ∠=,C 为该球面上的动点,若O ABC -三棱锥体积的最大值为36,则球O 的表面积为( C )(A)36π (B)64π (C)144π (D)256π2.(13课标1理)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( A )(A )3cm 3500π (B )3cm 3866π (C )3cm 31372π (D )3cm 32048π3.(12课标理)已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为( A )(A)63 (D )24.(12课标文)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 ( B )(A )6π (B )43π (C )46π (D )63π5.(10新课标理)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )(A) 2a π (B) 273a π (C) 2113a π (D) 25a π 6.(10新课标文)设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )(A )23a π (B )26a π (C )212a π (D )224a π 7.(07新课标文)已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,AC =,则球的体积与三棱锥体积之比是(D)A.π B.2π C.3π D.4π8.(13新课标2文)已知正四棱锥O ABCD -的体积为2,,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为24π。
9.(13新课标1文)已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为__。
10.(11新课标理)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且6,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为11.(11新课标文)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较 大者的高的比值为31. 12.(08新课标理)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,那么这个球的体积为43仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
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