第十章 曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1. 设曲线弧段»AB 为，则曲线积分有关系( ).(A)»»(,)d (,)d ABBA f x y s f x y s =-⎰⎰； (B)»»(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =⎰⎰；(C)»»(,)d (,)d 0AB BAf x y s f x y s +=⎰⎰；(D)»»(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =--⎰⎰． 答(B).2. 设有物质曲线23:,,(01),23t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它的质量M =( ).(A)10t ⎰; (B)10t t ⎰;(C)t ⎰; (D)t ⎰. 答(A).3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OMI s=⎰不相等的积分是( ).(A)10x ⎰; (B)10y ⎰;(C)d r r ⎰; (D)1e r ⎰答(D).4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d Lx y s -=⎰( ).(A)403d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)303d 4y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝⎰. 答(D).5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分s =⎰( ).(A)x ⎰; (B)y ⎰;(C)10x ⎰; (D)y ⎰. 答(C).6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d Lx y s +=⎰( ).(A); (B)2; (C) (D) 答(D).二、填空题1. 设L 是圆周221x y +=,则31d LI x s =⎰Ñ与52d LI x s =⎰Ñ的大小关系是.答:12.I I =2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d Lx y s +=⎰..3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n Lx y s +=⎰.答：212a a π+.4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d Lx y s -=⎰.答：0.5. 设L 是圆周221x y +=,则2d LI x s ==⎰Ñ.答：π.6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d Lx y s -=⎰.答:2)e --. 7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,则Ls =⎰.答：3. 三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)d Lx s ⎰Ñ其中为由直线y x =与抛物线2y x=所围区域的整个边界.答： 11)12.(2)Ls ⎰Ñ其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答： 2 2.4a a e π⎛⎫+- ⎪⎝⎭(3)2d x yz s Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).答：9. (4)2d Ly s ⎰其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.答： 34232.53a ⋅⋅(5)22()d Lx y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩(02)t π≤≤. 答： 2322(12).a ππ+§10．2对坐标的曲线积分一、选择题1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d ABy x x y +=⎰( ).(A)2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C). 2. 设C 表示椭圆22221x y a b+=,其方向为逆时针,则2()d C x y x +=⎰ ( ).(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B). 3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则(3)d (2)d Cx y x y x y +++=⎰( ).(A)21[(2)(23)]d x x x x x +++⎰； (B)21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰ (C)21[(73)2(51)]d x x x -+-⎰; (D)21[(73)(51)]d x x x -+-⎰. 答(C).4. 设曲线C 的方程为x y ==(0)2t π≤≤,则22d d Cx y y y x x -=⎰( )(A)20[cos sin t π⎰； (B)2220(cos sin )d t t t π-⎰(C)2200cos sin ππ-⎰⎰(D)201d 2t π⎰.答(D).5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).(A)22()(d d )0L f xy x x y y ++=⎰Ñ；(B)22()(d d )0Lf xy x y y x ++=⎰Ñ(C)22()(d d )0Lf xy x y y ++=⎰Ñ; (D)22()(d d )0Lf xy x x y ++=⎰Ñ.答(A).6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A)0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C).二、填空题1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d LP x y x =⎰.答：0.2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y x -=⎰.答：5615-. 3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y y -=⎰.答：403-.4．L 为圆弧y (2,2)A 的一段弧,则d Lxy y =⎰ .答：43. 5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d Lxy y =⎰.答：32a π-.6．设(2)d (23)d 9Lx y x x y y -++=-⎰Ñ,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于.答：32.三、解答题1．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 为:(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧; (2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1);(2)11;(3)14;(4).332．计算d d Ly x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.答：0. 3．计算22()d ()d L x y x x y yx y+--+⎰Ñ,其中L 为圆周222x y a +=(方向按逆时针). 答：2π-.4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.答：13.5. 计算22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.答：1415-. §10．3 格林公式一、选择题1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d Cx y x xy y -+⎰Ñ用格林公式计算可化为( ).(A)230d d Rr r πθ⎰⎰； (B)220d d Rr r πθ⎰⎰;(C)230d 4sin cos d Rr r πθθθ-⎰⎰; (D)220d d RR r r πθ⎰⎰. 答(A).2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向,则3223()d ()d Lx x y x xy y y -+-⎰Ñ= ( ). (A)323a π; (B)4a π-; (C); (D)42a π-. 答(D). 3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A)8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B).4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).(A)0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q Px y∂∂-=∂∂; (C)0P Q x y ∂∂-=∂∂; (D)0P Q x y∂∂+=∂∂. 答(B). 5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则22d d 4L x y y xx y -=+⎰Ñ( ).(A)4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4L x y y xI x y -==+⎰Ñ( ).(A)因为Q P x y ∂∂=∂∂,所以0I =; (B)因为,Q Px y∂∂∂∂不连续,所以I 不存在; (C)2π; (D)因为Q Px y∂∂≠∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C). 7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件是( ).(A)P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x∂∂=∂∂;(C)P Q x y ∂∂=-∂∂; (D)P Qy x ∂∂=-∂∂. 答(D). 8. 已知2()d d ()x ay x y yx y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).(A)0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B). 9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段,则(3)d (3)d Lx y x y x y +++=⎰( ).(A)2311(3)d (6)d x x y y +++⎰⎰; (B)21[(6)(23)]d x x x x x +++⎰;(C)23111(31)d (3)d 2y x x y y ++++⋅⎰⎰; (D)21[(31)(51)]d x x x -++⎰.答(A).10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分(,)43(0,0)()tan d ()d I yf x x x f x y ππ=-⎰与路径无关,则()f x =( ).(A)1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).二、填空题1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则d d Lx y y x -=⎰Ñ.答: 2σ.2. 设(,)f x y 在22:14x D y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,则(,)d [3(,)]d y x Lf x y y y f x y x -+=⎰Ñ.答: 6π.3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针,则2(2)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰Ñ.答: 27π-.4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数, 则d d L ax y by xx y-+⎰Ñ=.答: 4()a b +.5. 设ABCDA 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d Lx yx y++⎰Ñ=.答: 0.6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则2d y Le y =⎰.答: 0. 7.(2,2)2(0,0)2d (3)d xy x x y +-=⎰.答: 2.8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则22d 2d y y Le x xye y +=⎰.答: 42e .9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰化为对弧长的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.答:22d 14L P xQ s x ++⎰.10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分[()]sin d ()cos d x Lf x e y x f x y y --⎰与路径无关,则()f x =.答: 2x xe e --.三、解答题1. 计算22d d 2()L y x x y x y -+⎰Ñ，其中L 为圆周22(1)2x y -+=的正向. 答:π-. 2. 计算(24)d (536)d Lx y x y x y -+++-⎰Ñ，其中L 是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.答:12.3. 计算3222(2cos )d (12sin 3)d Lxyy x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧.答:24π.4. 计算22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y 上由(0,0)到(1,1)的一段弧.答:7sin 264-+.5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值:(1) (2,3)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-⎰.答:52. (2)(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰.答: 5.6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-.答: (1) 22222x y xy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +. 7. 用格林公式计算223()d (2)d Lx x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周y (2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.答:324π-.8. 用格林公式计算423(23)d (4)d Lxy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周y (1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.答:62π-.§10．4 对面积的曲面积分一、选择题1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).(A)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(B)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y -⎰⎰;(C)(,,0)d f x y S ∑<⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(D)(,,0)d f x y S ∑>⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰.答(A).2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).(A)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,)d d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(B)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(C)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(D)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰. 答(D).3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).(A)1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1d 4d z S z S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(D)1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰. 答(C).4. 设∑是锥面1)z z ≤≤,则22()d x y S ∑+=⎰⎰( ).(A)22()d x y S ∑+=⎰⎰2120d d r r r πθ⋅⎰⎰;(B)22()d x y S ∑+=⎰⎰1200d d r r r πθ⋅⎰⎰;(C)22()d xy S ∑+=⎰⎰21200d d r r πθ⎰;(D)22()d x y S ∑+=⎰⎰21200d d r r r πθ⋅⎰;. 答(D). 5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限内的部分, 则42d 3z x y S ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰( ).(A)4d d xyD x y ⎰⎰;(B)4d d xyD x y ⎰⎰;(C)23004d d x y ⎰;(D)32004d d x y ⎰;. 答(B). 6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则d z S ∑=⎰⎰( ).(A)222200d (2)d r r r r πθ--⋅⎰⎰;(B)2220d (2d r r r πθ-⎰⎰;(C)220d )d r r r πθ-⋅⎰⎰;(D)220d d r r r πθ-⎰. 答(D).7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).(A)22()d 0x yz S ∑+=⎰⎰Ò; (B)22()d 0y yz S ∑+=⎰⎰Ò;(C)22()d 0z x y S ∑+=⎰⎰Ò; (D)2()d 0x y z S ∑+=⎰⎰Ò. 答(C). 二、填空题1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑++=⎰⎰Ò.答: 44a π.2. 设∑为球面2222x y z a ++=,则222d x y z S ∑=⎰⎰Ò.答: 0.3. 设∑为上半球面z =,则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.4. 设∑为下半球面z =则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑=⎰⎰Ò.答: 23a π.6. 设∑为上半球面z =,则d x S ∑=⎰⎰.答: 0. 7. 设∑为平面1232x y z ++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑⎛⎫++=⎪⎝⎭⎰⎰.答:8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑=⎰⎰.答:. 9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, 则(522)d x y z S ∑---=⎰⎰.答: 272-. 三、解答题1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 面上方部分,(,,)f x y z 分别如下:(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1)136π; (2) 14930π; (3) 11110π.2. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰Ò,其中∑是锥面z =1z =所围成的区域的整个边界曲面.答:12. 3. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分.答: 9π.4. 计算42d 3z x y S ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分.答:5. 计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.答: 22()a a h π-.§10．5 对坐标的曲面积分一、选择题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确的是( ).(A) 2d d z x y ∑=⎰⎰Ò222()d d xyD ax y x y --⎰⎰;(B)2d d z x y ∑=⎰⎰Ò2222()d d xyD ax y x y --⎰⎰;(C)2d d z x y ∑=⎰⎰Ò0;(D) (A)(B)(C)都不对. 答(C).2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 3d d z x y ∑⎰⎰; (B)3d d x y z ∑⎰⎰;(C)3d d y x z ∑⎰⎰0; (D)d d d d x y z y x z ∑+⎰⎰. 答(D).3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A)303d y x ⎰⎰;(B)302d z y ⎰⎰;(C)30d z x ⎰⎰; (D)30d z x ⎰⎰. 答(B).4. 设2222:x y z a ∑++=,1:z ∑=∑取外侧, 1∑取上侧.下列结论正确的是( ).(A) 12222()d d d d xy z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰Ò;(B)12222()d d 2d d xy z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰Ò;(C)2222222()d d 2d d x y a x y z x y a x y ∑+≤++=⎰⎰⎰⎰Ò; (D) 0. 答(D).5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑=⎰⎰( ).(A) 1100d (1)d x x x y y ----⎰⎰; (B)110d (1)d x x x y y ---⎰⎰;(C)110d (1)d xy x y x ---⎰⎰; (D) 110d (1)d x y x y x ----⎰⎰. 答(A).6. 曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰在数值上等于( ).(A)向量2z i v 穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量; (C)向量2z k v 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j v穿过曲面∑的流量. 答(C).二、填空题1. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z y z ∑++=⎰⎰.答: 0.2. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z x y ∑++=⎰⎰.答: 1.3. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑++=⎰⎰Ò..答: 0.4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰Ò..答:343a π. 5. 设∑为球面2222()()()x a yb zc R -+-+-=取外侧, 则曲面积分d d z x y ∑=⎰⎰Ò..答:343R π. 6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑++=⎰⎰Ò.答: 0. 三、解答题1. 计算22d d x y z x y ∑⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.答:77426422453753105R R ππ⎛⎫⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.答: 32π.3. 计算d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰Ò,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.答:18. 4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:(1) ∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧.答:(1) 32d 55P Q S ∑⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰;(2) S ∑.§10．6 高斯公式一、选择题1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω的体积V =( ).(A)1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++⎰⎰Ò; (B)1d d d d d d 3x y z y z x z x y ∑++⎰⎰Ò; (C)1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++⎰⎰Ò; (D) 1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑++⎰⎰Ò.答(B). 2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰Ò( ). (A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰Ò;(B)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰Òd d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰; (C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰Òd d d R Q P x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰; (D)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰Ò(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰Ò.答(C).4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).(A) 2d d (2)d d x y z z y x y ∑++=⎰⎰Ò(22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(B)3()d d 2d d d d x yz y z xy z x z x y ∑--+=⎰⎰Ò2(321)d d d x x x y z Ω-+⎰⎰⎰; (C) 2d d (2)d d x y z z y z x ∑++=⎰⎰Ò(21)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(D)2d d (2)d d x x y z y y z ∑++=⎰⎰Ò(22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰. 答(B).二、填空题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰Ò.答:343a π. 2. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰Ò.答:525a π. 3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a yb zc Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰Ò.答: 3abc .4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰Ò.答: ()a b c abc ++.5. 向量A yzi zxj xyk =++v v v v穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向外侧的通量Φ=.答: 0.6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++v v v v穿过球面222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=.答: 108π. 三、解答题1. 计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰Ò,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.答: 43a .2. 计算333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰Ò,其中∑为球面2222x y z a ++=外侧.答:525a π. 3. 计算2232d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑+-++⎰⎰Ò,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤.答:525a π. 4. 计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰Ò,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.5. 计算24d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰Ò,其中∑是平面0x =,0y =,0z =与平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧. 答:32. 6. 计算22d d (2)d d d d 2z x y z z xy z x x y ∑+-+⎰⎰Ò,其中∑为曲面22z x y =+与平面1z =所围成的立体的表面外侧.答:4π. 7. 计算曲面积分3333d d (2)d d ()d d x y z yz x z x x y ∑+++-⎰⎰Ò,其中∑为曲面z =z .答: 326(1cos2)5π⋅⋅-. 8. 计算曲面积分222d d d d (1)d d xy y z z z x z xx y ∑++-⎰⎰Ò,其中∑为由曲面z =0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.答: 322161625335πππ⋅⋅-=. 9*.用Gauss 公式计算曲面积分2()d d d d zx y z z x y ∑+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧. 答: 8π.§10．7 斯托克斯公式一、选择题1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A) d d d P x Q y R z Γ++=⎰Ñd d d d d d y z z x x y x y z P Q R ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰; (B) d d d P x Q y R z Γ++=⎰Ñcos cos cos d S x y z PQ Rαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰; (C)d d d P x Q y R z Γ++=⎰Ñ{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z PQRαβγ∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰vv v ;(D)d d d P x Q y R z Γ++=⎰Ñ{}d ,d ,d i j k x y z x y z P Q R∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰v vv . 答(D). 2. 设Γ是从点(,0,0)a 到点(0,,0)a 再到(0,0,)a 最后回到(,0,0)a 的三角形边界(0a >),则()d ()d ()d z y x x z y y x z Γ-+-+-=⎰Ñ( ).(A) 23a ; (B)26a ; (C)22a ; (D) 2a . 答(A).3. 设Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.则22d 3d d y x x y z z Γ+-=⎰Ñ( ).(A) π; (B)6π; 9π; (D) 0. 答(C).二、填空题1. 设Γ为圆周2222,0x y z a z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.22d 2d d y x x y z z Γ+-=⎰Ñ.答: 0.2. 设u xy yz zx xyz =+++, 则(1)grad u =.答: {},,y z yz z x xz x y xy ++++++(2) div(grad )u = .答: 0.(3) rot(grad )u =. 答: 0v .3. 设向量场(23)(3)(2)A z y i x z j y x k =-+-+-v v v v,则rot A =v .答: 246i j k ++v v v.4. 设向量场22sin sin()sin(cos )A x yi y xz j xy z k =++v v v v,则rot A =v .答: 222[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]x z xy xz i y z j y z xz x y k --+-v v v .三、解答题1. 计算d d d y x z y x z Γ++⎰Ñ,其中Γ为圆周2222,0x y z a x y z ++=++=,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 2a .2*. 计算()d ()d ()d yz x z x y x y z Γ+-+-⎰Ñ,其中Γ为椭圆222x y a +=, 1(0,0)x y a b a b+=>>,若从x 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: π3. 计算23d d d y x xz y yz z Γ-+⎰Ñ,其中Γ为圆周222,2x y z z +==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 20π-.4. 计算22d 3d d y x x y z z Γ+-⎰Ñ,其中Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 9π.5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rot d A n S ∑⋅⎰⎰v v化为曲线积分,并计算积分值,其中A v 、∑及n v 分别如下:(1) 2A y i xyj xzk =++v v v v ,∑为上半球面z 的上侧, n v 是∑的单位法向量.(2) ()A y z i yzj xzk =-+-v v v v ,∑为{}(,,)02,02,02x y z x y z ≤≤≤≤≤≤的表面外侧去掉xoy 平面上的那个底面,, n v 是∑的单位法向量.答: (1) 0. (2) 4-.。