07-05 圆的方程点一点——明确目标掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，能根据需要选择园方程的恰当形式解决问题.做一做——热身适应1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 .解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1. 答案：－71<t <12.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 . 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部 ⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔ ｜a ｜＜131.答案：｜a ｜＜1313.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）. 答案：（－1，2）4.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.解析：Rt △OMC 中，|MP |=21|BC |（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.y 故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0.答案：x 2+y 2－x －2y －2=05.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D理一理——疑难要点1.圆的方程（1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422F E D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项;当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形;据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.拨一拨——思路方法【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0.当a ≠1时，方程化为（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac）2.（θ为参数）. ① （θ为参数）. ②所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac|为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27， 则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC|.∵AB 为⊙O 的直径， ∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|， ∴922++y x =|y +3|.化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.我们再来试一试: 如图，过原点的动直线交圆x 2+（y －1）2=1于点Q ，在直线OQ 上取点P ，使P 到直线y =2的距离等于|PQ |，求动直线绕原点转一周时P 点的轨迹方程.x y解：设P （x ，y ），圆O 1：x 2+（y A ，连结AQ ，易知|AQ |=|AR |=|x |， 又|PQ |=|PR |=2－y ，∴在Rt △OQA 中，|OA |2=|AQ |2+|OQ |2， 即22=|x |2+［22y x +－（2－y ）］2， 化简整理得x 2（x 2+y 2－4）=0， ∴x =0或x 2+y 2=4为所求的轨迹方程.练一练——巩固提高1.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2. 答案：2 2.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2. 再由d －r =2－1=1，知最小距离为1. 答案：13.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =0 解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上. 答案：A4.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 答案：B5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32. 由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0， 即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）. ∴所求的直线方程为y =－x +1.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.解：原方程为（x +1）2+（y －3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为x =－1+2cos θ，y =3+2sin θ 22sin （θ+4π），当θ=4π5，即x =－1－2，y =3－2时，x +y 的最小值为3－1－22.7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值； （2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设xy=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、（θ为参数，0≤θ<2π），则x +y =3－1+2（sin θ+cos θ）=3－+1最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（也可由平面几何知识，有OC =2，OP =3，∠POC =60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°解之）（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6.（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1， AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2， 即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上， 因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0，y =0 半径r =22)40()11(-+--=20， 所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外. （理）已知动圆M ：x 2+y 2－2mx －2ny +m 2－1=0与圆N ：x 2+y 2+2x +2y －2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周.（1）求动圆M 的圆心的轨迹方程； （2）求半径最小时圆M 的方程.的解，即圆心坐标为（－1，0）.解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N （－1，－1）为弦AB 的中点，在Rt △AMN 中，|AM |2=|AN |2+|MN |2，∴（m +1）2=－2（n +2）.（*）故动圆圆心M 的轨迹方程为（x +1）2=－2（y +2）. （2）由（*）式，知（m +1）2=－2（n +2）≥0， 于是有n ≤－2.而圆M 半径r =12+n ≥5，∴当r =5时，n =－2，m =－1，所求圆的方程为（x +1）2+（y +2）2=5.9.圆x 2+y 2=1内有一定点A （21，0），圆上有两点P 、Q ，若∠P AQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.分析：先求出PQ 中点E 的轨迹方程为x 2+y 2－21x －83=0.xy再求切点弦PQ 所在直线的方程解：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则过P 、Q 的切线方程分别是 x 1x +y 1y =1，x 2x +y 2y =1.又M （m ，n ）在这两条切线上，有mx 1+ny 1=1，mx 2+ny 2=1，∵P 、Q 两点的坐标满足方程mx +ny =1，又两点确定唯一一条直线， ∴PQ 所在直线的方程是mx +ny =1.又∵E 为直线OM 与PQ 之交点，解方程组 mx +ny =1 y =mn x ⇒x =22n m m +，y =22n m n+.将（22n m m +，22n m n +）代入中点E 的轨迹方程得x2+y 2+34x －38=0. 这就是要求的过P 、Q 两点的切线交点M 的轨迹方程.想一想——拓展发散（2005年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=x e1+y e2（其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x，y）.（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.解：（1）∵P点斜坐标为（2，－2），∴OP=2e1－2e2.∴|OP|2=（2e1－2e2）2=8－8e1·e2=8－8×cos60°=4.∴|OP|=2，即|OP|=2.（2）设圆上动点M的斜坐标为（x，y），则OM=x e1+y e2.∴（x e1+y e2）2=1.∴x2+y2+2xy e1·e2=1.∴x2+y2+xy=1.故所求方程为x2+y2+xy=1.。