2020年中考数学专题培优圆解答题1.如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若OB=BF，EF=4，求AD的长．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：∠BDF=∠F；（2）如果CF=1，sinA=0.6，求⊙O的半径．3.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD=MC；4，求MC的长．（2）若⊙O的半径为5，AC=54.如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．（1）求证：△HBE∽△ABC；（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．5.如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD 相交于点G，且∠GAF=∠GCE（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH.①△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最大值.6.如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是弧AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．7.如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，弧AC=弧BC，弦CD交AB于点E.(1)当PB是⊙O的切线时，求证:∠PBD=∠DAB；(2)求证:BC2-CE2=CE∙DE；(3)已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长.8.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D点，交AC于F，过D作DE⊥AC.（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：DC=DF；（3）若CE=1，DE=2，求AE的长.9.如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O 交斜边AC 于点D ，过圆心O 作OE ∥AC ，交BC 于点E ，连接DE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE 2=CD •OE ；（3）若tanC=34，DE=25，求AD 的长．10.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，⊙O 是△BEF 的外接圆.（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，求证：CD=HF ；（3）已知：CD=1，EH=3，求AF 的长.11.如图,BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧AB上一点,过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点．（1）求证：PM＝PN；（2）若BD=4,PA=1.5AO,过点B作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长．12.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：2BC=AB；（3）点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.13.如图,已知直线PA交⊙0于A、B两点,AE是⊙0的直径.点C为⊙0上一点,且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB的长度.14.如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：△EFD为等腰三角形；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．16.如图，已知Rt△ACE中，∠AEC=90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若cos∠CBF=，AE=8，求⊙O的半径；（3）在（2）条件下，求BF的长．17.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE、OD，（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于F，若OF=FC，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若，求⊙O的半径．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.（1）试说明点D在⊙O上；（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE.求证：BE为⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.19.如图在⊙O中，BC=2,AB=AC，点D为AC上的动点，且.(1)求AB的长度；(2)求AD·AE的值；(3)过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4错误!未找到引用源。

且错误!未找到引用源。

时，求劣弧BD的长度．21.如图,己知AB是⊙O的直径,且AB=4,点C在半径OA上(点C与点O、点A不重合),过点C作AB的垂线交⊙O于点D.连接OD,过点B作OD的平行线交⊙O于点E,交CD的延长线于点F.(1)若点E是弧BC的中点,求∠F的度数;(2)求证:BE=2OC;(3)设AC=x,则当x为何值时BE·EF的值最大? 最大值是多少?22.如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长.23.如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点E，连接OE、AE，过点E作⊙O的切线交边BC于F．（1）求证：△ODE∽△ECF；（2）在点O的运动过程中，设DE=x：①求OD•CF的最大值，并求此时⊙O的半径长；②判断△CEF的周长是否为定值？若是，求出△CEF的周长；否则，请说明理由？24.如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=3，cosA=，求出⊙O的半径和BE的长；（3）连接CG，在（2）的条件下，求的值．25.已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．（1）如图 1，求证：KE=GE；（2）如图 2，连接 CABG，若∠ACH=2∠FGB，求证：CA∥FE；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CG 交 AB 于点 N，若 sinE=，AK=，求 CN的长．参考答案1.解：(1)如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，∵BE=EC，∴DE=EC=BE，∴∠1=∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°，又∵∠2=∠4，∴∠1+∠2=90°，∴DF为⊙O的切线；(2)∵OB=BF，∴OF=2OD，∴∠F=30°，∵∠FBE=90°，∴BE=EF=2，∴DE=BE=2，∴DF=6，∵∠F=30°，∠ODF=90°，∴∠FOD=60°，∵OD=OA，∴∠A=∠ADO=BOD=30°，∴∠A=∠F，∴AD=DF=6．2.解：3.解：4.解：5.6.解：7.解：8.解：（1）连OD，证明略；（2）证明略；（3）AE=4.9.解：10.11.12.解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB∴BC=OC ∴2BC=AB(3)连接MA,MB∵点M是弧AB的中点∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB∴BM:MC=MN:BM ∴BM2=MC·MN∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4 ∴BM=∴MC·MN=BM2=813. (1)证明：连接OC,∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。

∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。

又∵点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，∴CD为⊙0的切线．(2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形OCDF为矩形，∴0C=FD，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，在Rt△AOF中，由勾股定理得.即，化简得：解得x=2或x=9。