【练习2】(2017·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A( －1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是 _______x_＜__－__1_或__x_＞__4____．
| 练习 | 1. [2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为
-1 .
2. [2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称 [答案] x1=2,x2=4
轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5
(2)(2017·天水)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线 的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0) 与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有
两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜ 4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是________②．⑤(只填写 序号)
【例2】(1)(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应 值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1
时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有（ ） B
A．1个 B．2个 C (2)点C(0，3)，点D(1，4)．
(3)设点P(x，y)(x＞0，y＞0)，S△COE＝12×1×3＝32，S△ABP＝12×4y＝2y，
∵S△ABP＝4S△COE，∴2y＝4×
3 2
.∴y＝3.∴－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝0(不合题
意，舍去)，x2＝2.∴P(2，3)．
.
图14-3
4.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三
个交点,则b的取值范围是
.
[答案] b<1且b≠0 [解析]∵函数 y=x2-2x+b 的图
象与坐标轴有三个交点, ∴ ������ = (-2)2-4������ > 0,
������ ≠ 0, 解得 b<1 且 b≠0.
5.(2017·齐齐哈尔)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1 ，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D 是抛物线的顶点． (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点C和点D的坐标； (3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．
错误;方程可化简为x2-5x+6-m=0,则Δ=52-4(6-m)>0,可解出m> -1 ,所以 ②正确;二次函数可化简为y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m,由根与系数的4关 系,x1+x2=5,x1x2=6-m,∴y=x2-5x+6-m+m,即y=x2-5x+6,则此二次函数与x 轴交点的坐标为(2,0)和(3,0),所以③正确.故选C.
图14-2
题组二 易错题 【失分点】解析式中x2的系数含有参数时,注意考虑系数是否可以为0.
例.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为 . 0或-1
考向 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
例1 已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关 于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是x1= ,x2= .
两个① 不相等 的实数根 两个② 相等 的实数根
③ 没有 实数根
2.二次函数与不等式的关系 ax2+bx+c>0(或ax2+b+c<0)的解集: 函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴④ 上方 横坐标的取值范围.
(或⑤ 下方
)的部分对应的点的
练习题【教材改编】如图14-2是函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答: (1)方程x2-2x-3=0的解是 x1=-1,x2=3 ; (2)函数值大于0时x的取值范围是 x<-1或x>3 ; (3)函数值小于0时x的取值范围是 -1<x<3 .
【练习】 若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2, 有x轴下交列点结的论坐:①标x为1=(22,,x02)=和3(;3②,0m).>其-14中;③,正二确次结函论数的y个=(数x-x是1)((x-x2)+) m的图象与
A.0 B.1 C.2 D.3 解析:因式分解求方程的解,右边应化为0,而现在方程右边为m,所以①
[答案] 1 2 [解析]∵二次函数的解析式是 y=x2-3x+m(m 为常数), ∴该抛物线的对称轴是直线 x=32. 又∵二次函数 y=x2-3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1,0), ∴根据抛物线的对称性知,该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是(2,0), ∴关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根分别是 x1=1,x2=2.
解为
.
图象的对称轴为直线 x=2,
∴-���2���=2,∴b=-4, ∴原方程化为 x2-4x-5=2x-13,
解得 x1=2,x2=4.
3. [2019·济宁改编]如图14-3,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-
1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2-mx+c>n的x<解-1集或是x>3
答案:C
【思路引导】(1)由表格中的数据规律可判断出二次函数y＝ax2＋bx＋c 的开口方向、对称轴及与x轴的交点，然后结合结论判断正误．(2)结合图形 中的已知点的坐标与已知图象的关系进行判断． 方法归纳 二次函数中确定带有不等关系的自变量的取值范围时，先把不等 号改成等号，求出这个方程的解，再观察图象，根据在x轴上方函数值大于 0，在x轴下方函数值小于0得出结论．
第三章 函数及其应用
第六节 二次函数与一元二次方程、不等式
考点 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c与x轴 的交点个数 2个 1个 没有
判别式b2-4ac的正负 方程ax2+bx+c=0的实数根个数
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0