2020年重庆一中高2021级高二下期周考
数学试题卷2020.4.12
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.从集合 {1,2,3,4,5} 中随机取出一个数，设事件 A 为“取出的数为偶数”，事件 B 为“取出的数为奇数”，则事件 A 与 B （ ）
A. 是互斥且对立事件
B. 是互斥且不对立事件
C. 不是互斥事件
D. 不是对立事件
2.在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（ ）
3.在区间[]1,3-上随机取一个数 x ，若 x 满足 |x|< m 的概率为 0.75 ，则 m=（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ， n 为点 P( m,n ) 的坐标，那么点 P 在圆2217x y +=内部的概率是（ ） A.13 B.25 C.29 D.49
5.设随机变量ξ的分布列为()1,2,3,4,55k P ak k ξ⎛
⎫=
== ⎪⎝⎭，则11102P ξ⎛⎫<< ⎪⎝⎭等于（ ） A.35 B.45 C.25 D.15
6.今有 A ，B ，C 三位同学将进行体能过关测试，能否过关互不影响，已知三人能过关的概率分别为23,,35P ，随机变量ξ表示能过关的人数，若三人全部过关的概率为310
，则()2P ξ=等于（ ） A.1360 B.920 C.130 D.1960
7.某节假日，一校办公室要安排从一号至六号由指定的六个人参加的值班表?要求每人值班一天，但甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻，则不同的安排方法有（ ）种．
A. 336
B. 408
C. 240
D. 264
8.设随机变量()
21,X N σ:，其正态分布密度曲线如图所示，且()20.027P X >=，那么向正方形 OABC 中随机投掷 1000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）
A. 473
B. 527
C. 554
D. 628
9.记()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 129
D. 2188
10.市场调查发现，大约45
的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器。

经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为
1720，而实体店里的家用小电器的合格率约为910
，现工商局12315 电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（ ） A.67 B.56 C.45 D.25
11.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）
A. 24 对
B. 30 对
C. 48 对
D. 60 对
12.某人在微信群中发了一个 8 元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到 1 元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ） A.13 B.821 C.37 D.518
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13.某变量x ，y ，z 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则 z=3 x -y 的最大值为 .
14.在32n
x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ． 15.随机变量 X 的分布列如表所示，若()13
E X =，则()32D X -=
16. 某情报站有A,B,C,D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

设第 1 周使用 A 密码，那么第 7 周也使用 A 密码的概率为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.（10 分）已知向量()(),,2,1m x y n ==u r r ．
（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6）
先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足0m n ⋅=u r r 的概率；
（2）若x ∈[1,6],y ∈[1,6]，求满足0m n ⋅<u r r 的概率．
18.（12 分）为了精准备考，某市组织高三年级进行摸底考试，已知全体考生的数学成绩 X 近似服从正态分布N(100,100) ，（满分为 150 分，不低于 120 分为成绩优秀）．
（1）若参加考试的人数为 30000，求()120P X ≥及成绩优秀的学生人数；
（2）从全体考生中随机抽取 3 人，ξ表示数学成绩为(90,110]的人数，求ξ的分布列与期望． 附：若()2
,X N μσ:，则()()2
19;22.320P X P X μσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈ 19.（12 分）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率都是45，乙能答对其中的 8 道题．规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出4 道题进行测试，只有选中的 4个题目均答对才能入选；
（1）求甲恰有 2 个题目答对的概率；
（2）求乙答对的题目数 X 的分布列；
（3）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的多少，并说明理由．
20.（12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD//BC,AB ⊥BC,BD ⊥DC ，点 E 是 BC 边的中
点，将△ABD 沿 BD 折起，使平面ABD ⊥平面 BCD ，连接 AE ，AC ，DE ，得到如图 2 所示的几何体．
（1）求证：AB ⊥平面 ADC ；
（2）若AD=1，AB=2，求二面角 B- AD- E 的大小．
21.（12 分）椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，且与椭圆2
2
12y x +=有相同离心率，直线 l ： y=kx+m 与椭圆 C 交于不同的 A ，B 两点． （1）求椭圆 C 的方程；
（2）若在椭圆 C 上存在点 Q ，满足OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r ，O 为坐标原点，求实数λ取值范围．
22.（12 分）已知函数()()21x
f x e a x b =---，其中 e 为自然对数的底数． （1）若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数，试求实数 a 的取值范围；
（2）已知函数()()2
11x g x e a x bx =----，且 g(1)=0，若函数g(x)在区间[0,1]上恰有 3 个零点，求实数 a 的取值范围．。