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2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数学(理科)及答案

秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷(理科) 2016.1(时间:120分钟 分数:150分)一.选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分)1.复数31ii -(i 是虚数单位)的虚部是( )(A )32i (B )32 (C )32i - (D )32-2.定积分()32sin x x dx ππ-+⎰等于( )(A )0 (B )2192π- (C )2219π- (D )2219π+ 3.(原创)已知命题p :R x ∈∀,04223≠+++x x e x ,则⌝p 为( )(A )R x ∈∃0,使得042ln 20300=+++x x x (B )R x ∈∃0,使得04220300≠+++x x ex (C )R x ∈∃,使得04223=+++x x e x (D )R x ∈∀0,使得04220300=+++x x ex4.用反证法证明结论:“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时,要做的假设是( )(A )曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 (B )曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 (C )曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 (D )曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5.已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点,则线段MN的长的最小值为( )(A )24 (B )22 (C )2 (D )26.()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是( )(A )38<<-x (B )8>x (C )3-<x (D )8-<x 或3>x7.给出以下五个结论:①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--; ②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=;③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆;④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线;⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

其中正确结论有( )(A )4个 (B )3个 (C )2个 (D )1个8.i 是虚数单位,若复数()()12i a i -+ 是纯虚数,且()()10,a b i a b R +-<∈,复数z 满足||3z =,则||z a bi +-的最大值...为( ) (A )53- (B )2 (C )53+ (D )269.(原创)在ABCD 中,已知()3,0C -,()3,0D ,点,E F 满足3AC AE =,2DF FA =,且||||4CF DE -=,则点A 的轨迹方程是( )(A )15422=-y x (B )()215422≥=-x y x (C )127922=-y x (D )()3127922≥=-x y x 10.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在平面ABCD 上,满足PA PC 31=,则点P 的轨迹为( )(A )直线 (B )一段圆弧 (C )椭圆 (D )圆11.(原创)点()()1,0P t t >是椭圆22143x y +=上一点,,A B 是该椭圆上异于点P 的两个点,且直线,PA PB 的倾斜角分别为072和0108,则直线AB 的斜率为( ) (A )12-或12 (B )0tan18 (C )12(D )0tan 36 12.(原创)观察下列不等式:317126+<,33112912324++<,40494131211333<+++,33331111371234530++++<,……。

照此规律,第五个...不等式为3333311111123456+++++<( ) (A )2621 (B )2920 (C )5467 (D )9578二.填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若38=S ,则=+++7632a a a a _____________。

14.已知函数()ax e x f x-=在()+∞,3单调递增,则实数a 的取值范围是_____________。

15.(原创)正四棱柱1111ABCD A B C D -中,己知81=AA ,点,E F 分别的棱11,BB CC 上,且满足3==BE AB ,12FC =,则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值等于 。

16.(原创)设F 是椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左焦点,过F 的直线与椭圆C 交于,A B两点,分别过,A B 作椭圆C 的切线并相交于点P ,线段OP (O 为坐标原点)交椭圆C 于点Q ,满足2OQ QP =,且0FQ OF ⋅=,则椭圆C 的离心率为 。

三.解答题(本题共6个小题,共70分。

要求每道题都必须写出必要的过程)17.(本题满分10分)已知函数()()32-=x e x f x。

⑴求曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程; ⑵求函数()x f y =的极值。

18.(本题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知4=a ,3=c ,31cos -=A 。

⑴求角C 的大小; ⑵求ABC ∆的面积。

19.(原创)(本题满分12分)数列{}n a 满足()++∈--=N n a a a n n n 4921,且21=a 。

⑴写出432,,a a a 的值;⑵归纳猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明;⑶设()()()++∈--=N n a a b n n n 331,求数列{}n b 的前n 项和n T 。

20.(原创)(本题满分12分)如右图,四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,且PAD ∆是边长为4的正三角形,M 为PD 的中点,底面ABCD 是矩形,3=CD 。

⑴求异面直线PB 与CM 所成的角α的余弦值; ⑵求直线AC 与平面PCM 所成的角β的正切值。

21.(原创)(本题满分12分)已知()0,1A -是焦点在x 轴上的椭圆C 的一个顶点,F 是椭圆C 的右焦点,直线AF 与椭圆C 的另一个交点为B ,满足||5||AF FB =。

以()1,1D -为圆心的D 与椭圆C 交于,M N 两点,满足||||AM AN =。

⑴求椭圆C 的标准方程;⑵求圆心D 到直线MN 的距离d 的值。

22.(原创)(本题满分12分)已知函数()ln 38f x x x x =-+。

⑴求函数()y f x =在3,e e ⎡⎤⎣⎦(e 是自然对数的底数)的值域;⑵设0a b <<,求证:()()()2023ln 33a b f a f b f b a +⎛⎫<+-<- ⎪⎝⎭。

命题人:薛廷兵 审题人:王中苏2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 答 案(理科) 2016.1一.选择题:BACBA BDCDD CA二.填空题:13.23;14.(3,e ⎤-∞⎦;15.2;16.63。

三.解答题17.解:⑴由题()()()()13322-+=-+='x x e x x e x f xx,故()30-='f 。

又()30-=f ,故曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为x y 33-=+,即033=++y x ;⑵由()0='x f 可得1=x 或3-=x , 如右表所示,得()()363-=-=e f x f 极大,()()e f x f 21-==极小。

18.解:⑴由题可知角A 为钝角,故角C 为锐角。

因322cos 1sin 2=-=A A ,故Csin 33224=,即22sin =C ,得045=C ;⑵由⑴得()()624cos sin 2245sin sin 0-=+=+=A A A B ,故ABC ∆的面积为24sin 21-==B ac S 。

(提示:亦可先用余弦定理计算出122-=b ,再用面积公式计算) 19.解:⑴252=a ,383=a ,4114=a ; ⑵na n 13-=,证明如下:①当1=n 时猜想显然成立;②假设当()+∈=N k k n 时猜想成立,即k a k 13-=,则11312311234921+-=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=+k k k k k a a a kk k ,故当1+=k n 时猜想成立。

综上知猜想成立;⑶由⑵可知111111+-=⋅+=n n n n b n ,故11111111+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑=n n n i iT ni n 。

x(),3-∞-3-()13,-1 ()+∞,1()x f ' + 0 - 0 + ()x f↑极大↓极小↑20.法一:⑴如图,取AD 的中点N ,连BD BN PN ,,,记O AC BD = ,连OM 。

则O 为BD 中点,故PB OM //,且OM PB 2=,且α=∠OMC 。

因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且AD CD ⊥,AD PN ⊥,故⊥CD 平面PAD ,PN ⊥平面ABCD ,因此DM CD ⊥,PN BN ⊥。

由题易知()53232222=++=PB ,132322=+=CM ,故25=OM 。

又25=OC ,故13cos 25CM OM α==即为所求; ⑵由⑴可知⊥AM 平面PCM ,故MC 即为AC 在平面PCM 的射影,从而ACM ∠即为直线AC 与平面PCM 所成的角β。

因13=CM ,32=AM ,故13392tan ==CM AM β即为所求。

法二:如图,取AD 中点O ,BC 中点N ,由题知AD OP ⊥且AD ON ⊥。

因平面PAD ⊥平面ABCD ,故⊥OP 平面ABCD ,从而OP OD ON ,,两两垂直。

因此可以O 为原点,以,,ON OD OP 分别为z y x ,,轴正方向建立空间直角坐标系,则()0,2,0-A ,()0,2,3-B ,()0,2,3C ,()32,0,0P ,()0,2,0D ,()3,1,0M 。

故()3,2,23PB =--,()3,2,23PC =-。

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