ι : V ∗ → Map(A, K),
这里Map(A, K)是集合A到数域K的函数的全体, 构成一个线性空间. 对 任 何V 上 的 线 性 函 数r ∈ V ∗, ι(r)就 是r限 制 在 集 合A上, 即ι(r)(αi)定 义 为r(αi). 试证明:
• (5分) 若rankA = n, 则ι是单射; • (5分) 若A线性无关, 则ι是满射.
线性代数B 期中考试 十月三十日1:00PM-2:50PM
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(1) (20分) 求下列方程组的通解
x1 + x2 + 5x3 = 0, 3x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1,
2x1 + x2 − 4x3 − x4 = 1, 4x1 + 3x2 + 6x3 − 3x4 = 1.
(2) (20分)n × n矩阵A, J为
a11 a12 . . . a1n
现在令V = Q3, 这里Q是有理数域. 设
1
0
1 = 0 , 2 = 1 ,
0
0
0 3 = 0 .
1
若η1, . . . , ηn是另外一组基
2
0
3
η1 = 1 , η2 = 1 , η3 = 0 .
−1
1
1
用V ∗的基 ∨1 ,
∨ 2
,
∨ 3
线性表出η1∨,
η2∨
,
η3∨.
(6) (10分)设A = {α1, . . . , αs}为K上有限维线性空间V 中的向量组, 设V 的维数 是n. 考察映射
(5) (20分) 数域K上的线性空间V 的对偶空间V ∗为从V 到K的所有线性映射构 成的集合Hom(V, K). 若V 的一组基是α1, . . . , αn, 定义对偶基αi∨ ∈ V ∗使 得∀j,
αi∨(αj ) = δij =
1, if i = j, 0, if i = j.
1
2
LINEAR ALGEBRA B
(3) (20分) 求下列向量组的秩和它的一个极大无关组 α1 = (1, 3, −2, 6), α2 = (4, 7, −4, 11), α3 = (2, 1, 0, −1), α4 = (1, −2, 2, −7).
(4) (10分) 设A ∈ Ms×n(K), B ∈ Mn×s(K)且AB = 0, 证明 rank(A) + rank(B) ≤ n,
A
=
a21 . . .
a22 ...
...
a2n
,
an1 an2 . . . ann
0 0 0 . . . 0 0
1 0 0 . . . 0 0
J
=
.
0 ..
1 ...
0 ......0源自0 .00 . . . 1 0 0
0 0 ... 0 1 0
试计算AJ和JA并指出何时AJ = JA.