第三章 三角恒等变换一、选择题.1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.23-B.21 -C.21D.232. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．A.43B.83 C.81D.413. 函数y =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πsin 4πsin x x 的周期为( )．A.4π B.2π C. π D. 2π4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+B.12-C.2D. 25. 化简2cot 2tan2cos 1ααα-+，其结果是( )．A.21-sin 2α B.21sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α6. 若sin (α + β)=21，sin (α - β)=31，则βαtan tan 为( )．A. 5B. - 1C. 6D.617. 设tan θ和tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ4π是方程x 2+ px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )．A. p + q + 1 = 0B. p - q + 1 = 0C. p + q - 1 = 0D. p - q - 1 = 08. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )．A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5B. -4≤a ≤4C. -3≤a ≤3D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤49. 若α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π3 ,π，则ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2tan αB. 2sin αC. 2cot αD. 2cos α二、填空题.1.︒+︒-15tan 3115tan 3 = ___________．2. y = 3sin (x + 20°) + 5sin (x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________．3. 若tan (α + β)= 7，tan α tan β =32，则 cos (α - β)= ___________．4. 若θ为第二象限角，且sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23π2θ＞21，则2sin2cos sin 1θθθ--= __________． 5. 若α，β，γ都是锐角，tan α=21，tan β=51，tan γ=81，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n ∈Z ，且A ，B ，C 均不为 0，则 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan A C C B B A ++ = __________．三、解答题．1. 已知α，β为锐角，cos α =54，tan (α - β)= -31，求cos β的值．2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-21，cos α + cos β =27，求cos (α + β)， sin (α - β)的值．3. 已知tan A 与tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π是x 2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π，求p 和q 的值．4. 证明：cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = -41sin 4α sin 2α．参考答案一、选择题．1. B 【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos (83° + 37°)= cos 120°= -21． 2. C 【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° =21sin 150°sin 30°=81． 3. C 【解析】y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x cos 22sin 22 cos 22sin 224πsin 4πsin =21sin 2 x -21cos 2 x = -21cos 2x . ∴ T =π22π=． 4. A 【解析】y = 2sin x (sin x + cos x )= 2sin 2 x + 2sin x cos x = 1 - cos 2x + sin 2x= 1 +⎪⎭⎫⎝⎛-4π2sin 2x ．∴ y max = 1 +2． 5. A 【解析】αααααααααααα2sin 21cos sin cos 2sin2cos2cos 2sin cos 22cot 2tan 2cos 122-=-=-=-+6. A 【解析】sin αcos β + cos αsin β =21，sin αcos β - cos αsin β =31． ∴ 2sin αcos β =65， 2cos αsin β =61．∴ βαtan tan = 5． 7. B【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-+qp θθθθ4πtan tan 4πtan tanθθθπtan 1tan 14tan +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴ θθθθθp tan 1tan 1tan tan 1tan 12+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=，θθθq tan 1tan tan 2+-=．∴ q - p = 1， ∴ p - q + 1 = 0．8. D 【解析】设 f (x ) = 3sin 2x - cos 2x + 4cos x + a 2，4≤3 - 4cos 2 x + 4cos x + a 2≤20， 4≤- 4cos 2 x + 4cos x + a 2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =21时，f (x )max =214414⨯+⨯-+ a 2 + 3≤20⇒-4≤a ≤4；当 cos x = - 1时，f (x )min = - 4 - 4 + a 2 + 3≥4⇒a ≥3，或a ≤-3.∴ -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4． 9. C【解析】ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22222222αααααααααααααααα-++++-+-++=2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sinαααααααα-++--+=．∵ α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23π π，，∴ 2α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡43π 2π，． ∴ 原式 =2cot 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sinααααααααα=-+++-+．sin=sin= cos或cos三、解答题．1. 【解】∵ cos α =54，∴ sin α =53．∵ α，β 为锐角， ∴ -2π＜α - β＜2π． ∵ tan (α - β)=31-，∴ cos (α - β)=10103，sin (α - β)=1010-cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos (α - β)+ sin αsin (α - β)=10509．2. 【解】② 27cos cos ①21sin sin =+-=-βαβα①2 + ②2，得 sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β + cos 2 α + 2cos α cos β + cos 2 β = 2.∴ cos (α + β)= 0． 又 α，β 均为锐角， ∴ α + β =2π， ∴ sin α – sin β = sin α- cos α= -21． sin 2α + cos 2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =41． 又sin 2α + cos 2α = 1，且sin α＜cos α，α，β 均为锐角，∴ sin α =417-． ∴ sin (α - β)= sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-αα2π= - cos 2α = 2sin 2α -1 = 47-． 3. 【解】∵ tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=A A tan 1tan 1+-，∴ 3tan A =AA tan 1tan 22+-，∴ tan A =31，或 tan A = - 2．当tan A =31时，tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=21，p = -⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121 = -65，q =21×31=61．当tan A = - 2时，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π= -3，p = -(-2 - 3) = 5，q = (-2)×(-3) = 6．4. 【证明】cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = (cos 4 α + sin 4 α)(cos 2 α + sin 2 α)(cos 2 α - sin 2 α)- cos 2α= (cos 4 α + sin 4 α)cos 2α - cos 2α =(cos 4 α + sin 4 α - 1)cos 2α= [cos 4 α +(sin 2 α - 1)(sin 2 α + 1)] cos 2α = [cos 4 α - cos 2 α(sin 2 α + 1)]cos 2α = - 2cos 2 αsin 2 αcos 2α = -41sin 4αsin 2α．。