第十五章 傅里叶级数一．填空题1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππx x x x f 0,2,0,0,0,2)(，则)(x f 的傅里叶系数=n a .2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数()=++∑∞=1sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设,0(),0,0x x f x x ππ≤≤⎧=⎨-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在π=x 处收敛于 .4. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<=<<--=ππx x x x x x f 0,,0,0,0,)(22，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .5. 设⎩⎨⎧<≤<≤-50,3,05,0)(x x x f ，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .6. )(x f 是以π2为周期的连续函数，且在],[ππ-上按段光滑，则()=++∑∞=1sin cos 2n n n nx b nx a a . 二．选择题1.下列说法正确的是（ ）.A 若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=ππnxdx x f b n sin )(， ,3,2,1=n.B 若)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=ll n dx lxn x f a πcos)(， ,3,2,1=n .C 若)(x f 是以π2为周期的偶函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可展开成余弦级数∑∞=1cos n n nx a ..D 若)(x f 是以π2为周期的奇函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可展开成正弦级数∑∞=1sin n n nx b .2.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππx x x x f 0,4,0,0,0,4)(，则下列说法错误的是（ ）.A )(x f 在),(ππ-上可以展开成傅里叶级数..B )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4π. .C )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于0. .D )(x f 的傅里叶系数0=n a .3.设函数)(x f 满足)()(x f x f -=+π，则该函数的傅里叶级数具有性质（ ）.A 0=n a .B 0=n b .C 022==n n b a .D 01212==--n n b a4.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<<--=ππx x x f 0,4,0,4)(，则下列说法正确的是（ ）.A )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于4..B )(x f 的傅里叶展式在π-=x 处收敛于-4. .C )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4. .D )(x f 的傅里叶展式在π±=x 处均收敛于0.5.将⎩⎨⎧<<-≤<-=42,3,20,1)(x x x x x f 在)4,0(上展开成余弦级数，则下面关说法错误的是（ ）.A )(x f 的傅里叶展式在2=x 处收敛于-1..B )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于1. .C )(x f 的傅里叶展式在4=x 处收敛于1. .D )(x f 的傅里叶展式在3=x 处收敛于1.6. 若将函数x x f =)(在)2,0(内展成正弦级数，则下列说法正确的是（ ）.A 40=a.B )(x f 的正弦级数展式在2=x 处收敛于2. .C 当)2,0(∈x 时，展成的正弦级数收敛于)(x f 本身. .D )(x f 在)2,0(内不能展成余弦级数 三．判断题1. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],[ππ-上的正交函数系. ( )2.若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数收敛于)(x f 本身. （ ）3.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成傅里叶级数. （ ）4.函数)(x f 是在],[ππ-上的周期函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成正弦级数. （ ）5.函数)(x f 的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值. ( )6.设函数,0(),0,0x x f x x ππ≤≤⎧=⎨-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在x π=-处收敛于0.( )7. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],0[π上的正交函数系. ( ) 8.x x f =)(在)2,0(上不能展成余弦级数. ( )9.2cos )(xx f =在],0[π上不能展成正弦级数. ( )10.若级数()∑∞=++10||||2||n n n b a a 收敛，则级数()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个数轴上一致收敛. ( ) 四．计算题1.（1）将2)(xx f -=π在]2,0[π上展开成傅里叶级数；（2）利用展开式证明： +-+-=71513114π2.将x x f =)(在)1,1(-上展开成傅里叶级数.3.（1）将x x f =)(在]1,0[上展开成余弦级数； （2）根据展开式求()211.21n n ∞=-∑4.将x e x f =)(在],0[π上展开成正弦级数.5.求⎩⎨⎧<≤<<-=T x x T C x f 0,0,0,)(（C 是常数）在),[T T -上的傅里叶展开式.五．证明题1.设)(x f 在],[ππ-上可积或绝对可积，若对],[ππ-∈∀x ，成立)()(x f x f =+π，证明：01212==--n n b a .2.设周期为π2的可积函数)(x f 在],[ππ-的傅里叶系数为n n b a ,，函数)(x g 的傅里叶系数为n n b a ~,~，且)()(x f x g -=，证明：n n n n b b a a ==~,~.3.根据2)1()(-=x x f 在)1,0(的余弦级数展开式证明631211222π=+++ .4.已知帕萨瓦尔等式为∑⎰∞=-++=122202)(2)]([1n n n b a a dx x f πππ，（n n b a ,为)(x f 的傅里叶系数），利用),(,cos )1(431222πππ-∈-+=∑∞=x nx n x n n 证明9031211444π=+++ . 5.已知),(,cos )1(431222πππ-∈-+=∑∞=x nx nx n n，利用逐项积分法证明3x 在),(ππ-的傅里叶级数为x n n n n sin )6()1(21322∑∞=--π第十六章——第十七章一、判断题1、设平面点集{}(,),D x y x y Z =∈，则(0,0)为其内点。

( )2、若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在且相等，则重极限00lim (,)x x y y f x y →→必存在。

( )3、若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→存在，则累次极限00lim lim (,)y y x x f x y →→也存在。

( )4、若重极限00lim (,)x x y y f x y →→存在，则累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与必00lim lim (,)y y x x f x y →→存在。

( )5、若函数(,)f x y 在有界集D 上连续，则(,)f x y 在D 上有界。

( )6、若函数(,)f x y 在闭域D 上连续，则(,)f x y 在D 上有界。

( )7、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处沿任何方向的方向导数都存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 处可微。

( )8、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '都存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 处连续。

( )9、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '都存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 处可微。

( )10、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '都存在。

( )11、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则),(),,(y x f y x f y x ''在该点处连续。

( ) 12、若(,)f x y 在其定义域的内点00(,)x y 处连续0(,)f x y ⇔在0x 和0(,)f x y 在0y 都连续 ( )13、若(,)f x y 在其定义域的内点00(,)x y 处连续0(,)f x y ⇒在0x 和0(,)f x y 在0y都连续 ( )14. 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处沿任何方向的方向导数都存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 处偏导数存在。

15. 若(,)f x y 在点00(,)x y 处偏导数存在，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 处沿x 轴正向和负向的方向导数都存在，且互为相反数. 二、选择题1、若0lim (,)x y kxf x y A →==对任何k 都成立，则必有( )(A) (,)f x y 在(0,0)处连续 (B) (,)f x y 在(0,0)处有偏导数 (C) 00lim (,)x y f x y A →→= (D) 00lim (,)x y f x y A →→=不一定存在2、(,),(,)x y f x y f x y 连续是(,)z f x y =可微的( ) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件3、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。