平面向量练习题及答案解答典例精析题型一向量的有关概念下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.下列各式：①|a|＝a?a；② ?c＝a? ；③OA－OB＝BA；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥.其中正确的个数为A.1B.C.D.4选D.| a|＝a?a正确； ?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示，MN=++且MN=++，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得⊥.所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b 表示，，1313.在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22＝2＝2＝2.11又＝，＝，31所以＝AD＋＝b＋1115＝b＝a，266111＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323所以＝－1511＝－＋)＝a.6626向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 .由已知得－＝λ，11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP－AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB ＋BP＝0，所以? ＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题设两个非零向量a与b不共线.若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线；试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC ＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB， BD共线.又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ，所以a＝b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC易知AM＝AD＋DM 1＝＋，1AN＝AB＋BN＝AB2AD， 1a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b).32所以＝＋＝a＋b).运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于 1B.C.1 D.1A.由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.题型二向量的坐标运算已知a＝，b＝，u＝a＋2b，v＝2a－b.若u＝3v，求x；若u∥v，求x.因为a＝，b＝，所以u＝＋2＝＋＝，v＝2－＝.u＝3v?＝3＝，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.u∥v ?＝λ2x1,－3＝0?x＝1.对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.nπnπ已知向量an＝sinn∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋ (77)＋|a141＋b|2的最大值为.π设b＝，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝2＋b2＋2＋…＋2＋b2＋2＝282＋2cos，所以y的最大7777值为284.题型三平行向量的坐标运算已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝，n＝，p＝.若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；π若m⊥p，边长c＝2，角CABC的面积.证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.因为m⊥p，所以m·p＝0，即a＋b＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝2－3ab，所以2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1.113所以S△ABC＝absin C3.22设m＝，n＝，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝，n＝.若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为A.10－3C.10－23B.10＋5D.10＋231由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－cos C＝2，所以c2＝a2＋b2－2abcos平面向量练习题一．填空题。

1． AC?DB?CD?BA等于________．2．若向量a＝，b＝，则向量2b－a的坐标是________．．平面上有三个点A，B，C，若∠ABC ＝90°，则x的值为________．4.向量a、b满足|a|=1,|b|=2,⊥,则向量a与b的夹角为________．．已知向量a＝，b＝，那么向量2a－12b的坐标是_________．6．已知A，B，C，D，若AB与CD共线，则|BD|的值等于________．7．将点A按向量a＝平移后，所得到的对应点A′的坐标是______．8. 已知a=,b=,若a⊥b,则x等于______9. 已知向量a,b的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则·a=______ 10. 设a=,b=,且3a·b=4,则x等于_____ 11. 已知AB?,BC?,CD?,且BC∥DA，则x+2y的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为____13．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OAOB?OC的最小值是.14．将圆x?y?2按向量v=平移后，与直线x?y0相切，则λ的值为22二．解答题。

1．设平面三点A，B，C．试求向量2AB＋AC的模；试求向量AB与AC的夹角；试求与BC垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a=,b=当?为何值时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底求|a－b|的取值范围3．已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb的模取最小值时，求t的值已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直4. 设向量OA?,OB?，向量OC垂直于向量OB，向量BC 平行于OA，试求OD?OA?OC时,OD的坐标.5.将函数y=－x进行平移，使得到的图形与函数y=x －x－2的图象的两个交点关于原点对称.求平移向量a及平移后的函数解析式.226.已知平面向量a?,b?.若存在不同时为零的实数k和t,使x?a?b,y??ka?tb,且x?y.2试求函数关系式k=f 求使f>0的t的取值范围.参考答案1.02.3..90°11．6.73．7.．8.－29.1210.311.012.0° 13.?214.?1或?5∵ AB＝＝，AC＝＝．∴ AB＋AC＝2＋＝．1∴ |2AB＋AC|AB|＝712222＝50．2∵AB|＝＝．|AC|＝522＝26，AC＝×1＋1×5＝4．·42∴ cos ? ＝＝2?26＝13．设所求向量为m＝，则x2＋y2＝1．①又 BC＝＝，由BC⊥m，得x ＋y ＝0．②2525x?x?－55??55255255??y??．y?．?5或?5?由①、②，得?∴ 或即为所求．13．要使向量a、b不能作为平面向量的一组基底，则向量a、b共线3sin??3cos??0?tan??33∴k故基底6k，即当6时，向量a、b不能作为平面向量的一组 |a?b|??222而?23?3sin??3cos??23∴3?1?|a?b|?23?114．由t??2a?b2|b|2|b|t2abt|a|2222|a||b|cos?的模取最小值 t??|a||b|当a、b共线同向时，则??0，此时平面向量练习题一、选择题1、若向量a= , b= , c =,则 c等于1?3?1?3?3?1?A、?a+b B、a?b C、a?b2222223?1?b D、?a+22、已知，A，B，则与共线的单位向量是A、? 1010B、?或 10101010C、?D、?或3、已知?,?,k??3垂直时k值为 A、17B、18C、19D、204、已知向量=， =， =，设X是直线OP上的一点，那么XA?XB的最小值是A、-16B、-8C、0D、45、若向量?,?分别是直线ax+y－a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b的值分别可以是A、－1 ，B、－，1C、 1 ，D、，16、若向量a=，b=，则a与b一定满足 A、a与b的夹角等于?－? B、⊥ C、a∥bD、a⊥b7、设i,j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，?3cos?i?3sin?j，??,??i。