分析:由左端证向右端,注意左,右两端的差异,这种差异正是我 们思考的方向.左端含根号如何脱去根号呢?

证法1： a，b，c R ，且互不相等，且abc 1，
1 1 1 a b c bc ac ab

1 1 1 1 1 1 b c a c a b 111 2 2 2 a b c
不等式的证明方法 1.比较法 (1).比差法 依据: a b 0 a b 步骤:
a b 0 a b a b 0 a b
(2).比商法 依据: 若a 0, b 0, 则：
①作差；②变形；③定号.
ab
ab
ab
a 1 b a 1 b a 1 b
▲1、已知a、b是正实数，求证：
a b ＋ b a a＋ b
提示：比较法，综合法
2、若a、b、c均为正数且a＋b＋c＝1，
1 求证： ① a b c 3
2 2 2
1 ② ab bc ca 3
例8：已知a，b，c R ，且互不相等，且abc 1， 例4 1 1 1 求证：a b c a b c
Байду номын сангаас
2
例3 例6：已知a, b, c R ，且a b c 1, 求证： 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 8 a b c
分析:不等式右边是8,使我们联想到左边的因式分别是使用基 本不等式得到三个2
证明： a, b, c R，且a b c 1,
2.综合法 综合法是从已知条件入手去探明解题途径,概括地说, 就是”从已知,利用性质,定理等,逐步推向未知”.其 思路是”由因导果”.即从已知条件A出发,得到结论 B1,由B1又可得到B2,…..由Bn可以推出结论B成立.
1、不等式的8大性质
•对称性: •传递性 •可加性 •可乘性
•加法法则
•乘法法则 •乘方法则
1 1 a b c 2 bc 1 a a a a
1 2 ac 1 2 ab 同理： 1 ， 1 b b c c
1 1 1 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘得： 1)( 1)( 1) 8 ( a b c 1 当且仅当a b c 时等式成立。 3
∴a( b2＋c2)≥2abc，
同理： b( c2＋a2)≥2bca， c( a2＋b2)≥2cab，
综合法
∵a、b、c不全相等，故等号不全成立， ∴
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ＞ 6abc
随堂巩固 1.下列不等式正确的是
A. a b 2ab
2 2
ab C. ab 2
例2 ⑴ 求证:1618>1816 ．
2.已知a b 0, 求证: a b
a b
a b
b a
（作商）比 较法
解析；两个式子都是幂的形式，故可考虑用比商法
第二题如果条件改为：a>0,b>0,a≠b,那结果如何？
--------综合法
利用某些已经证明过的不等式（重要不等式和 均值不等式）和不等式的性质推导出所要证明 的不等式成立，这种方法通常叫做综合法。
一. 温故知新
上节课我们学习了作差比较法，这节课来学习作 商比较法.类比于作差比较法，我们先做分析；
1、应用范围；不等式两端是乘积的形式或幂、指数式。
a 2、理论依据； 若a, b R , 则a b 1 b

3、基本步骤；作商----变形----判断商与1的大小----结论
说明；比商法不可忽视作商时分母的符号，它 的确定是其中的一个步骤。
例题:
例1 若x 0,
求证 : x 1x 2 x 2 1 x 1x 2 2 x
解析；两个式子都是乘积的形式，故可考虑用比商法 注意: 1.用作商比较法证明不等式的步骤是:作商—变 形—判断与1的大小关系.


2.有时所比较的两个实数或数式有相同的因式，可 以用作商法进行约分化简。
2
2
2
a2 a2 b 2 b 2a b b b2 c2 同理 : c 2b, a 2c c2 a 2 2 a b c 相加得 : a b c 2a 2b 2c b c a
a b c 即： a b c b c a
2
2
例8：已知a，b，c R ，且互不相等，且abc 1， 例4 1 1 1 求证：a b c a b c
证法2： a，b，c R，且互不相等，且abc 1，

1 1 1 bc ca ab a b c bc ca ca ab ab bc 2 2 2
abc a bc ab c
2 2 2
a b c

ab B. ab 2 ab D. ab 2
2. 已知a, b R , 且a b, 1 1 a 求证： b 4 a b
例2 例6：已知a，b，c R ，
a b c 求证： a b c b c a
证明: a, b, c R
•开方法则
若a,b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）
2、重要不等式 3、均值不等式
若a,b∈R+,则a+b≥2
（当且仅当a=b时取等号） ab
例1 已知a、b、c为不全相等的正数，求证：
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ＞ 6abc
证明： ∵ b2＋c2≥2bc，a＞0