25.3用频率估计概率内容提要1.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率()P A p=.2.即使试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等，我们也可以通过试验的方法去估计一个随机事件发生的概率.只要试验的次数n足够大，且频率m n 稳定于某个常数，频率mn就可以作为概率P的估计值.基础训练1.在“抛骰子”的游戏中，如果抛了100次，出现点数1的频率为19%，这是（）A．可能的B．确定的C．不可能D．以上都不正确2.下列说法正确的是（）A．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨B．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖D．一颗质地均匀的骰子已经连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点3.某个事件发生的概率是12，这意味着（）A．在两次重复实验中该事件必有一次发生B．在一次实验中没有发生，下次肯定发生C．在一次实验中已经发生，下次肯定不发生D．每次实验中事件发生的可能性是50%4.晓辉为练习射击，共射击600次，其中380次击中靶子，由此可以估计，晓辉射击一次击中靶子的概率约是（）A．38% B．60% C．63% D．65%5.为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼条.6.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据，请估计盒子里的白球个数为.（1）计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中：）该厂生产乒乓球优等品的概率约为（精确到8.某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进行中的一组统计数据：（2）请估计，当转动转盘的次数很大时，频率将会接近多少（精确到0.1）？（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？9.不透明的袋中有4个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，1个为绿色，每次从袋中摸一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表中部分数据：摸球次数 1 5 10 20 40 50 100 110 150 160 190 200 出现红球的频数 1 2 3 5 13 18 27 28 39 40 49 51 出现红球的频率（2）摸球5次和摸球10次所得频率值的误差是多少？100次和110次之间，190次和200次之间呢？从中你发现了什么规律？（3）根据以上数据你能估计红球出现的概率吗？是多少？（4）你能估计白球出现的概率吗？你能估计绿球出现的概率吗？能力提高1.小新抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛10次，有7次正面朝上，如果他第11次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）A．12B．14C．1 D．342.小明在一个装有红色球和白色球各一个的口袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸出一个球，反复多次实验后，发现某种“状况”出现的机会约为50%，则这种状况可能是（）A．两次摸到红色球B．两次摸到白色球C．两次摸到不同颜色的球D．先摸到红色球，后摸到白色球3.甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率C．抛一枚硬币，出现正面的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率4.修正液中含有铅、苯、钡等对人体有害的化学物质，为了让同学们真正认识修正液，九年级（1）班同学分成几个小组在中学生中展开调查“你知道修正液的主要成分吗？”调查数据统计如下表：调查人数200 400 800 1200 1600 2000 知道 6 10 15 23 33 41不知道98 390 785 1177 1567 1959 请根据这些数据估计“中学生知道修正液主要成分”的概率为（精确到5.某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为.（2）该地区已经移植这种树苗5万棵，①估计这种树苗成活万棵；②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约万棵.6.电脑程序小组的同学在计算机中制作了一个“虚拟骰子”（均匀的正方体），6个面中每个面都写有数字1，2，3，4之中的一个，通过10000次电脑投掷试验所得结果是：出现数字“1”的频率是33%，出现数字“2”的频率是17%，出现数字“3”的频率是34%，出现数字“4”的频率是16%，则6个面上数字之和为.7.某湿地自然保护区有大量白鹭，为掌握该区生态环境变化，科学家想了解白鹭群的数量及性别分布，现随机抓取45只白鹭做上标记再放飞，一个星期后随机抓回100只，记录结果如下：无记号有记号白鹭特征雄性雌性雄性雌性数量29 68 1 28.如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷实验，结果统计如下：数字 1 2 3 4数字朝下的次数16 20 14 10（1）计算上述实验中“4朝下”的频率是.”的说法正确吗？为什（2）“根据实验结果，投掷一次正四面体，出现2朝下的概率是13么？（3）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于4的概率.9.一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验，实验数据如下表：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率.（2）根据（1）的结果，x的值可能是6吗？请说明理由.（3）若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值.拓展探究1.学校举办“跳蚤市场”活动，九年级（1）班的同学决定批发一款笔袋在跳蚤市场出售.该款笔袋有红、蓝两种颜色，在采购的时候两名同学进行了如下的讨论：甲：每个人喜欢的颜色都不同，所以两款颜色都采购相同数量；乙：哪种颜色更多人喜欢就应该采购更大的数量；于是争执不下的两人回到学校针对笔袋的颜色做了一份调查，下表是一组统计数据：选“红色”的人数34 62 88 122 151 181选“红色”的频率（2）根据调查估计选红色的概率为多少（精确到0.1）？若按这一比例共采购200只笔袋，该笔袋进价为每只7元，为了获得较大利润将红色款定价为10元，蓝色款定价为9元，则200只笔袋共可获得多少元？2.现在初中课本里所学的概率计算问题只有以下两种类型：第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概率计算问题（一步试验直接列举，两步以上的试验可以借助树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验.第二类是用试验或者模拟试验的数据计算频率，并且频率估计概率的概率计算问题，比如掷图钉的试验.解决概率计算问题，可以直接利用模型，也可以转化后再利用模型.请解决以下问题：（1）下图是由边长均为1的正三角形、正方形、正六边形镶嵌而成的木板，利用该图形开展寻宝游戏，若宝物随机钉在木板后任意一点，则宝物钉在正方形区域后的概率是多少（精确到0.001）？（2）在1~9中随机选取3个整数，若以这3个整数为边长构成三角形的情况如下表：试验组别第1组试验第2组试验第3组试验第4组试验第5组试验构成锐角三角形次数86 158 250 337 420数学应用应用1甲、乙两人扔三个骰子，规定若三个骰子点数之和是奇数为甲获胜，三个骰子点数之和是偶数为乙获胜，请问这个游戏公平吗？请同学们通过实验，用频率估计概率的方法得出问题答案.应用2在中国象棋比赛中，两只不同颜色的“车”只要在同一条线上就可以相互“吃掉”.和你的同学一起借助中国象棋盘上的格子，研究在中国象棋盘上随机放一只红“车”及一只蓝“车”，它们正好可以相互“吃掉”的概率.应用3用应用2的思考方法，和你的同学一起借助中国象棋盘上的格子，研究在中国象棋盘上随机放一只红“马”及一只蓝“马”，它们正好可以相互“吃掉”的概率.整理归纳1.分清三个事件：学习概率的有关知识，必须了解随机现象，根据事件发生可能性的大小正确判断出给定的事件到底是什么事件，不可能事件是指每次都一定没有机会发生；必然事件是指每次一定发生；随机事件是指有时候会发生，有时候不发生.2.理清概率与频率的关系.频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值，而概率是指大量重复试验中，事件A发稳定下来所接近的某个常数.因此说，我们可用大量重复试验时的频率来估计概生的频率mn率，但不能说频率等于概率，因为它们是两个不同的概念，概率伴随着随机事件客观存在着，只要有一个随机事件存在，那这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随试验次数的变化而变化，虽然多次试验的频率能稳定于其理论概率，但无论做多少次试验，试验频率总是理论频率的一个近似值，接近而不相等.3.概率的计算.（1）有限等可能事件概率的计算：一般地，若在一次试验中有n种可能的结果，且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，则事件A发生的概率为()m=.可P An 见，计算概率的关键是探寻出m和n，常用的方法有列表法和树状图法，其中列表法适用于一次试验要涉及两个因素且可能出现的结果数目较多的情况；树状图法适用于一次试验要涉及三个或更多的因素的情况.（2）当随机试验可能出现的结果有无限多个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，可通过统计频率来估计概率.其做法是通过大量重复实验，用事件发生的稳定频率值来估计事件的概率，实验的次数越多，估计的效果就越好.数学实践密码锁安全吗？增城石滩镇港侨中学九（1）班万婉珊指导老师曹雪勇每次见爸爸出差，总少不了那些重要的文件，你可别小看这些文件，它关系到公司的生死存亡、职员的利益，所以爸爸每次出差总是十分紧张，这已成了爸爸最伤脑筋的事啦！最近妈妈建议爸爸购买一个配有密码锁的公事包，但爸爸、妈妈却因为公事包的安全性问题展开了激烈的争论，爸爸认为：“只要知道那几个小小的数字就可以非常巧妙地打开，密码锁不安全.”其实密码锁是十分安全的，现在就让我们用数学知识来论证一下吧.假如数字密码锁是三位数□□□，而每一格都有可能出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，这样排出三位数共有1010101000⨯⨯=个.而在这1000个数字当中只有一组密码号才能打开，因此打开此锁的概率是0.1%.不知道密码的人，想偷偷打开密码锁，就得一个不漏地一个一个去试，先000，001，002，003，…，一直试到999.由于心理紧张，还会重复已试过的数，并且即使试到了正确的密码号而没有去拉一下，这样又会“溜”过去了，因此可能要试1000多个数才有机会打开.如果每试一个数要花去10秒钟，那么试1000个数要花费：()⨯÷÷≈时.1000106060 2.8如果密码锁是七位的，那么不知道密码的人要想偷偷打开密码锁花的时间就会更多了.七位数的数字锁□□□□□□□同三位数的数字锁一样，每一格都有可能出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，这样排出的七位数共有：7101010101010101010000000⨯⨯⨯⨯⨯⨯==个.而在10000000个数字中只有1个密码号才能打开密码锁，那么打开密码锁的概率为7=.1/100.00001%同样，不知密码的人想打开密码锁就得一个不漏地一个一个去试，做贼毕竟会心虚，再加上心理紧张，还会不自觉地重复试号，这样试号就会超过710个，假如每试一个号需要7⨯÷÷≈时.的时间也按10秒计算，打开密码锁一般需要花费：1010606027778即使不知密码的人每天不眠不休，也约需要38个月才有机会打开密码锁，所以密码锁是十分安全的.如果将密码锁改为字母密码锁将能更大地增加它的安全性.字母密码锁一般是五位字母的，而每一格都有可能出现A，B，C，D，…，26个字母，这样排出的五位字母共有5⨯⨯⨯⨯==个.26262626262611881376而在11881376个字母组合中同样只有1个字母组合密码号才能打开密码锁.那打开密码锁的概率为1/11881376=0.000008416%，那么想偷偷打开密码锁的人花费的时间就更长，安全性能就更高了.由上述的分析我们可知密码锁是十分安全的.学业评价25.3 参考答案：基础训练1．A 2．B 3．D 4．C 5．2 000 6．24 7．（1）0.90.920.910.890.9（2）0.9 8．（1）0.680.740.680.690.7050.701．（2）当转动转盘的次数很大时，频率将会接近0.7．（3）获得铅笔的概率约是0.7．（4）圆心角的度数约为0.7360252⨯︒=︒．9．（1）1 0.40.30.250.3250.360.270.2550.260.250.2580.255（2）0.10.0150.003随着实验次数的增多，频率之间的误差会变得更小，因为频率逐渐稳定．（3）能，0.25（4）白球出现的概率是0.5，绿色出现的概率是0.25．能力提高1．A 2．C 3．B 4．0.025．（1）0.90.9（2）①4.5②15 6．147．雌雄比例为3：7，共1 500只．8．（1）16（2）不正确．（3）列表：由表格可知投掷正四面体两次，共有16种可能性，两次朝下的数字之和大于4共有10种可能性，105 168∴=．9．（1）0.33（2）不可能，如果x是6，可求得“和为7”的概率是6，不是0.33（3）5 拓展探究1．（1）0.680.620.590.610.600.60（2）0.6，可共获利520元．2．（1）0.536（2）0.22数学应用应用1 公平应用21789应用3 若其中一“马”在点1A ，1J ，9A ，9J 时（共4个点），互吃的概率为289；若其中一“马”在点2A ，1B ，1I 2J ，8A ，9B ，8J ，9I 时（共8个点），互吃的概率为389；若其中一“马”在点37A A ～，37J J ～，11C H ～，99C H ～，2B ，2I ，8B ，8I 时（共26个点），互吃的概率为489；若其中一“马”在点22C H ～，37B B ～，88C H ～，37I I ～时（共22个点），互吃的概率为689；若其中一“马”在其余30个点上时，互吃的概率为889．。