本章知识结构:1、代数式2、单项式3、单项式的系数及次数4、多项式5、多项式的项、次数6、整式（一）整式的加减法去括号，合并同类项3、积的乘方4、同底数的幕相除5、单项式乘以单项式6、单项式乘以多项式7、多项式乘以多项式、平方差公式9、完全平方公式1、单项式除以单项式■"一、整式的有关概念1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。

单独的一个数或字母也是单项式。

2、单项式的系数：单项式中的数字因数。

3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。

4、多项式：几个单项式的和叫多项式。

5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！！！有字母的代数式不是整式）基本步骤：去括号，合并同类项。

1、同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

（其中m 、n 为正整数） 练习：判断下列各式是否正确。

a 3 •a 3 = 2a 3，『+『=b\m 2 + m 2 = Im（-x ）3 •（一兀）2 •（—兀）二（—兀）6 二 x数学符号表示:a •a —aL7=J法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘。

（其中m 、n 为正整数） ----------------LW 丿」—"（其中m 、n 、P 为正整数） 练习：判断下列各式是否正确。

3x4数学符号表示:(a m y rrma n 、a2m)2法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方, 再把所得的幕相乘。

符号表示：练习：计算下列各式。

(2砂)4 ,(^tz2Z?)3,(-2xy 2 )3 ,(-tz3Z?2)34■单项式与单项式相乘的法则:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

5.(a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn•法则：多项式与多项式申乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把(1)、平方差公式一般的，我们有：(a+b)(a _ b) = a2—b2其中o"既可以是数也可以是代数式即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

这个公式叫(乘法的)平方差公式说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。

1、205 X1952、(3x+2) (3x-2)3、(-x+2y) (-x-2y)4、(x+y+z)(x+y-z)—般的，我们有：法则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

注意：•(1) (a-b)=-(b-a)•(2) (a・b)2=(b・a)2•(3)(・a・b)2=(a+b)2•(4) (a-b)3=-(b-a)37 ■添括号的法则:•添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。

&整式的除法： —~(1) 、同底数基的除法即：同底数幕相除，底数不变，指数相减。

d° = 1（6Z H O ）一般地，我们有m . n ^m-n a即任何不等于0的数的0次幕都等于1(2)、单项式除以单项式法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幕分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

(3)、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

(1)已知a2+—= 5,求(a + —尸的值a a(2)若(兀一y)2 = 2, / + y 2 = 1,求心的值(3)女口果(加一〃)2 +z =加2 +2 加则Z应为多少？(4)(x-3y + 2z)(x + 3y + 2z)(5)199^,(6)200f-199^(D (—r ?T ((2a 3c)4(2) 6(a)5汇(a )2j(3) (5x2y3—4>2 +6X)十(6X)一 4(4匚青匕—电」2+心电+迂)戈—0.5电」2)这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解或分解因式。

与整式乘法的关系：互为逆过程，互逆关系步骤—提：提公因式a? 土2ab+b=（a土b）2二用：运用公式三查;检查因式分解的结果是否正确(1) •公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式数与各项都含有的字母的最低次幕的积。

(3) ■提公因式法：一般地，如果多项式的各 项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面, 作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每 一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因(2)找公因式：找各项系数的最大公约魏廳脣聽积的形式'这种因式把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解匕(X+1) (X-1)整式乘法多项式ma+mb+mc中的各项都有一^公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc二m (a+b+c)就是把ma+ mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中—个因式是各项的公因式叫另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：X2 - X = X(X-1),________ /!亠-LC" —丄_____下列变形是否是因式分解？为什么？(1)3x2y-xy+y=y (3x2-x)；提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. (2)x2-2x+3= (x-1) 2+2 ；不满足因式分解的含义(3)x2y2+2xy-1 = (xy+1) (xy-1)；因式分解是恒等变形而本题不恒等.⑷ x n (x2-x+1) =x n+2-x n+1+x n.R WT例1用提公因式法将下列各式因式分解.(1)-x3z+x4y ； (2) 3x (a-b) +2y (b-a) 解：(1) -x3z+x4y=^ (-z+xy)・(2)3x (a-b) +2y (b-a)=3x (a-b) -2y (a-b)(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.觀如曲增先统三無(a^r6-例她瞬翩a卿如康数翳(要月成翔趣既武以把(x-y)统一成砌)瞬严)比较简!y-x) 2+b (y-x) 3+c(y-x),也可以把(y-x) 统便把下列各式分解因式.(1)(2a+b) (2a-3b) + (2a+5b) (2a+b)；2 (2a+b)2(2) 4p (1-q) 3+2 (q-1)2；2(1-q)2(2p-2pq+1) 或2(q-1)2(2p-2pq+1)(1)平方差公式:a2-b2= (a+b) (a-b)・例如:4x?-9二(2x) 2-32- (2x+3) (2x~3).⑵完全平方公式:a2±2ab+b2= (a±b)2 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.例女口：4x2-12xy+9y2=(2x) 2-2・ 2x-3y+ (3y) 2= (2x-下列变形是否正确？为什么？(1)x2-3y2=(x+3y) (x-3y)；目前在有理数范围内不能再分解. ⑵ 4x2-6xy+9y2= (2x-3y)2；不是完全平方式，不能进行分解⑶ x2-2x-1 = (x-1)2.不是完全平方式，不能进行分解(1) (a+b) 2-4a2；⑵ 1 -10x+25x2；(3)(m+n) 2-6 (m+n) +9解：⑴(a+b) 2-4a2E~2a纟哲a+b) (b-a)⑵ 1 -10x+25x2=1 -1 Ox+ (5x) 2= (1 -5x)2(3)(m+n) 2-6 (m+n) +9= (m+n-3)2.做把下列各式分解因式.—(1) (x2+4) 2-2 (x2+4)+1 ；(1) (x2 +3)2例3分解因式.(1)x3-2x2+x； (2)蚩0例)+y2 (y-x) 解:®耘幼曲爲=x(x_1)2小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.例4若9x?+kxy+36y2是完全平方式，则k二一分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（或差）・B/9x2+kxy+36y2= (3x) 2+kxy+ (6y)2 ±kxy=2・3x・6y=36xyAk=±36做一做若x?+(k+3) x+9是完全平方式，则k=_or十x分分析:把"+x2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构.解：令xZx2二叫则原式可化为(m-4) (m+3) +10=m2-m-12+10=m2-m-2=(m-2) (m+1)=(X Z X2-2)(X4+X2+1)=(x2+2) (x2-1) (x4+x2+1)A ■I 、"T'J /u |AJ 工 1 刀）Wrv\ 舁:/ 八 10011 1 1 1 （1 —尹）（1 —尹）（1 —R …（1 —而）(4) 2、若a 、b 、c 为AABC 的三边，且满足 a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc,试判断AABC20032 -20012… 1 .（2）（3） 20042-4008 X 2005+200529.92-9.9X0.2 + 0.01/ v x m+3 r\ m+2 . m+\（i） . x —lx y + x y（2）25（x - y）2 +10（y-x）+l⑶4a2b2 - （a2 +b2）2（4 ）己知la = 2003b = 2004 c = 2005 求/ +/?2 + c2-ab-bc- QC的值i 计算：1、(3Qb3)2・(-2ab?c)2 於& 解：原式=(9a4b6) (4a2b6c2) 鸽=(9X4)(a4・a2)(b6・b6)・c2 Ki=36a6b12c22、x(x-1 )-2x(-x+1 )-3x(2x-5)3、先化简，再求值：(3a+l)(2a-3)-6(a+2)(a-l),其中a=31 •将多项式am+an+bm+bn分解因式(1)4兀-4y - x2 + y2(2)1 — x2 + 6xy — 9y22•己i 知I: Q?—4Q +b? + 6b + 13 = 0, 求Q0的值(l)x2-kx+4是完全平方式，k =⑵在单项式k? + i中，添加一个单项式使其成为一个完全平方式，则单项式是(3)(兀-1)(兀- p)的结果中不含:的一次项p =(4)a2 + b2 = 5.a — b = 1 贝llab =(5)Q + b = 4, ab = 2, (a — Z?)2 =(6)x ——=l^x2 +x2。