考点精要解析考点一：锐角三角函数的概念1．定义：在 Rt? ABC 中，锐角 A 的正弦、余弦和正切统称为锐角 A 的三角函数．考点二：特殊角的三角函数 30o ，45o ， 60o 特殊角的三角函数考点二：解直角三角形 1．直角三角形的性质在 Rt?ABC 中，∠ C=90o ，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ，b ，c ，斜边中线长为 d ． 2．解直角三角形（1）定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求所有未知元素的过程，叫作解直角三角形．四）锐角三角函数2．在 Rt? ABC 中，∠ C ＝90o ，∠ A ，∠ B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ， 1）正弦：锐角 A 的对边与斜边的比叫作∠ 的正弦，记作 sinA ， 即 sin A 2）余弦：锐角 A 的邻边与斜边的比叫作∠ 的余弦，记作 cosA ， 即 cosA 3）正切：锐角 A 的对边与邻边的比叫作∠ 的正切，记作 tanA ，即 tan A A的对边=a；斜边= cA 的邻边= b；斜边 cA 的对边= a ；A 的邻边 =b2）解直角三角形的基本类型注：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中，化斜为直．（3）几种常见的三角形：考点四：解直角三角形的应用1．相关概念：（1 ）仰角和俯角：它们都是视线与水平线所成的角，如图4—2—83（a）所示，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角．（2）坡度与坡角：如图4—2—83（b）所示，坡面的垂直高度 h和水平宽度 l 的比叫作坡度（坡比）．用字母 i表示，即i h．把坡面与水平面的夹角，记作（叫作坡角），那么i h＝tan ．ll（3 ）指北或指南方向线与与目标方向线所成的小于90°的角，叫作方向角．如图4—2—83（c）所示，OA，OB，OC，OD 的方向角分别为：北偏东30 °，南偏东45 °（东南方向），南偏西30°，北偏西45°（西北方向）．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90 °，∴tan A ＝BC＝2 5＝5AC 6 3考点四：解直角三角形的应用例题 3 ．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海2．运用解直角三角形的方法解决简单的实际问题，要善于将实际问题的数量关系归纳为直角三角形的边角关系，然 后再进行求解．高频考点过关考点一：锐角三角函数的概念P 是第一象限的点，其坐标是 (3，m )，且 OP 与 x 轴正方向4的夹角 α的正切值是 ，则 sin α＝ ，cos α＝3答案： 4 ； 3 ．55考点二：特殊角的三角函数值例题 2．计算： 6tan 230 °－ 3 sin60 °－cos45°． 解：原式＝ 6×( 3)2－ 3× 3－ 2 ＝1 2 ．3 2 2 2考点三：解直角三角形 例题 3．如图 4—2—84 所示，在 Rt △ABC 中，∠C ＝ 90 °，点D 在 AC 边上．若 DB ＝6，12AD ＝ CD ，sin ∠CBD＝ ，求 AD 的长和 tan A 的值． 232解：在 Rt △DBC 中，∠C＝90°，sin ∠CBD＝ ，DB ＝632 ∴CD ＝ DB ·sin ∠CBD ＝6× ＝4， 3例题 1 ．在平面直角坐标系中AD ＝ 1 CD ＝2．2∵CBBD 2 CD 262 4225 ，AC ＝AD ＋DC ＝2＋4＝6，洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航 管理．如图 4— 2— 85 所示，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船 A 、B ， B 船在 A 船的正东方向，且两船保持 20 海里的距 离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向， B 的北偏东 15°方向有一我国渔政执法船 C ，求此时船 C 与船 B 的距离是多少． （结果保留根号 ） 解：如图 4—2—85 所示，过点 B 作BD ⊥AC 于 D ， 由题意可知， ∠ BAC ＝45 °， ∠ABC ＝ 90 °＋15 °＝105 °， ∴∠ ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝30°．2在 Rt △ABD 中，BD ＝AB ?sin ∠BAD ＝20× ＝10 2 （海里），2在 Rt △BCD 中，BC ＝2BD ＝20 2 （海里）． 答：此时船 C 与船 B 的距离是 20 2 海里．高频考点过关真题 1．（兰州中考 ）在△ABC 中， a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2， 真题 那么下列结论正确的是（ A ．c sin A ＝aB ． ）．b cos B ＝cC ． a tan A ＝ bD ． c tan B ＝b2．（杭州中考 ）在 Rt △ABC 中，∠C ＝ 90 ° ，AB ＝ 6， 3sin A ＝ ，则斜边上的高等于（）．A ． 6425 B ． 4825C ．16 5D ．125真题 3．（鄂州中考 ）在 Rt △ABC 中，∠A ＝90° ，AD ⊥BC 于 D ，若 BD ∶CD ＝ 3∶2，则真题 真题真题 tanB ＝( 3A ．2）．B ．4．（孝感中考 ） 式子 2cos30 ° A ． 2 3 2B ．－tan45 C ． 62 － 1－ tan60 的值是（C ． 2 31)2 2D ． 63）．D ．25．（邵阳中考 ） 在△ABC 中，若|sin A － 1| ＋（cos B － 1）2＝0，则∠C 的度数是（2A ．30°B ．45°C ．60D ．90）．6 ．（聊城中考 ） 河堤横断面如图 4 — 2 — 87 所示， 坝高 BC＝ 6 米， 迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3 ，则 AB 的长为（ ）．4真题 7．（安顺中考 ） 在 Rt △ABC 中，∠A ＝90°，tan A ＝ ，BC ＝8，则△ABC 的面积为 ．3 4真题 8．（扬州中考 ） 在△ABC 中， AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC ＝ ，则 BC ＝ ．5真题 9．（杭州中考 ） 在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：① sin A ＝ 3 ；213② cos B ＝ ；③ tan A ＝ ；④ tan B ＝ 3 ，其中正确的结论是 ．（只需23填上正确结论的序号）真题 10． （东营中考 ） 某校研究性学习小组测量学校旗杆 AB 的高度，如图 4—2—88 所示，在教学楼一楼 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60°，在教学楼三楼 D 处测得旗杆顶部 的仰角为30 °，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为 3 米，则旗杆 AB 的高度为 米．真题 11． （南充中考 ） 如图 4—2—89 所示，正方形 ABCD 的边长为 22 ，过 A 作 AE ⊥ AC ，真题 12． （聊城中考 ） 如图 4—2—90 所示，一只猫头鹰蹲在一棵树 AC 的 B （点 B 在 AC 上）处，发现一只老鼠躲进 短墙 DF 的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻 找这只老鼠，它又飞至树顶 C 处，已知短墙高 DF =4 米， 短墙底部 D 与树的底部 A 的距离为 2.7 米，猫头鹰从 C 点观测 F 点的俯角为 53°，老鼠躲藏处M （点 M 在 DE上）距 D 点 3 米．（参考数据： sin37 °≈0.60， cos37 °≈0.80 ， tan37 °≈0.75）A ．12 米B ．4 3 米C ．5 3 米D ．6 3 米1）猫头鹰飞至 C 处后，能否看到这只老鼠？为什么？2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精0.1 米）？确到真题 13． （六盘水中考 ）阅读材料：关于三角函数还有如下公式：sin （ α＋β） ＝ sin αcos β＋cos α sin β， sin （ α－ β）＝ sin αcos β－ cos α sin β，根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题1）计算： sin152）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（如图 4 —2—91（ a ）所示），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图 4—2—91（b ）所示，小华站在离塔底 A 距离 7米 的 C 处，测得塔顶的仰角为 75°，小华的眼睛离地面的距离 DC 为 1.62 米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度． （精确到 0.1 米，参考数据： 3 ≈1.732， 2≈1.,414 ）4—2—91真题 14． （苏州中考 ） 如图 4—2—92 所示，在一笔直的海岸线tan （ α＋ β）＝tan 1 tan tan gtantan （ α－β） ＝tan 1 tan tan gtan 例如： tan15 °＝tan （45 °－30°） ＝ tan45 tan30 1 tan45 gtan30 133 1 1 3 3＝2－ 3 ． （b ）（a在 B的正东方向， AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点 P处，从 A 测得小船在北偏西60°的方向，从 B 测得小船在北偏东45°的方向．l 上有 A，B 两个观测站， A1）求点 P 到海岸线 l 的距离；（2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到达点 C 处．此时，从 B测得小船在北偏西 15°的方向．求点 C 与点 B 之间的距离．（上述 2 小题的结果 都保留根号）创新思维训练创新 1．将一副三角板拼成图 4—2—93 所示的图形， DE 与 AC 相较于 F ，AB ∥CE ，BC ＝2，创新 2．如图 4—2—94 所示，在△ABC 中， AD ⊥ BC ．（1）若 tan B ＝sin C ，5①求证： AC ＝BD ；②若 cos ∠DAC ＝ ，BC ＝15，求 AD 的值．13 （2）若∠B ＝45°，求tan ∠BAD 的值．创新 3．定义：如图 4—2—95（ a ） 所示，在 Rt △ABC 中，直角三角形的斜边与锐角 α的邻边根据正割的定义，解决下列问题：1） sec60°＝ ．3的比叫作角 α的正割，记作sec α．即 sec α＝斜边∠ 的邻边AB AC2）如图4—2—95（a）所示，已知tan A＝，求sec A 的值．43）如图4—2—95（b）所示，在Rt△ABC中， DE是 AB的垂直平分线， AD＝1，。