专题训练（二）确定二次函数的表达式五种方法►方法一利用一般式求二次函数表达式1．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为()A．y＝x2－x－2B．y＝－x2＋x＋2C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋22．若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－4，0)，(2，6)，则这个二次函数的表达式为______________．3．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个二次函数的表达式为____________．4．如图2－ZT－1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)若M是该抛物线的对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图2－ZT－1►方法二利用顶点式求二次函数表达式5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋66．已知y是x的二次函数，根据表中的自变量x与函数y的部分对应值，可判断此函数的表达式为()A.y＝x2B．y＝－x2C ．y ＝34(x －1)2＋2D ．y ＝－34(x －1)2＋27．[2018·巴中改编]一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮框中心距离地面高度为3.05m ．在如图2－ZT －2所示的平面直角坐标系中，此抛物线的表达式是________．2－ZT －28．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，4)，它与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)在如图2－ZT －3所示的平面直角坐标系中画出抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 及直线y 2＝x ＋1，并根据图象，直接写出使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围．图2－ZT －3► 方法三 利用交点式求二次函数表达式9．若抛物线的最高点的纵坐标是254，且过点(－1，0)，(4，0)，则该抛物线的表达式为( )A ．y ＝－x 2＋3x ＋4B ．y ＝－x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x －4D ．y ＝x 2－3x ＋410．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6► 方法四 利用平移求二次函数表达式11．[2018·广西]将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为( )A ．y ＝12(x －8)2＋5B ．y ＝12(x －4)2＋5C ．y ＝12(x －8)2＋3D ．y ＝12(x －4)2＋312．如果将抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了抛物线y ＝2x 2－4x ＋3.(1)试确定b ，c 的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴．►方法五利用对称轴求二次函数表达式13．如图2－ZT－4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图2－ZT－414．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2－ZT－5，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为____________；(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．图2－ZT－5教师详解详析1．[解析]C 由题意可知点C 的坐标是(0，2)或(0，－2)．设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，2)，得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，c ＝2，则抛物线的表达式是y ＝－x 2＋x ＋2.同理，由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，－2)求得该抛物线的表达式为y ＝x 2－x －2.故这条抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2或y ＝x 2－x －2.2．[答案]y ＝x 2＋3x －4[解析]将点(－4，0)，(2，6)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧16－4b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝6，解得⎩⎨⎧b ＝3，c ＝－4， ∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2＋3x －4. 3．y ＝x 2－2x －14．解：(1)把A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝0，所以抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋x .(2)由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM ＝BM ，∴AM ＋OM ＝AM ＋BM .连接AB 交直线x ＝1于点M ，则此时AM ＋OM 的值最小．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42，因此AM ＋OM 的最小值为4 2.5．D6．[解析]D ∵函数图象过点(0，54)和(2，54)，∴函数图象的对称轴为直线x ＝1，故该函数图象的顶点坐标为(1，2)．设函数表达式为y ＝a (x －1)2＋2.把(－1，－1)代入，得4a ＋2＝－1，解得a ＝－34，∴此函数表达式为y ＝－34(x －1)2＋2.7．[答案]y ＝－15x 2＋3.5[解析]∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋3.5. ∵篮框中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入表达式，得3.05＝a ×1.52＋3.5， ∴a ＝－15，∴y ＝－15x 2＋3.5.8．解：(1)∵抛物线与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2， ∴交点的纵坐标为2＋1＝3， 即此交点的坐标为(2，3)．设抛物线的表达式为y 1＝a (x －1)2＋4.把(2，3)代入，得3＝a (2－1)2＋4，解得a ＝－1， ∴抛物线的表达式为y 1＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)令y 1＝0，即－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)．在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象可知，使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围为－1≤x ≤2.9．[解析]A 由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线x ＝12×(－1＋4)＝32，故该抛物线的顶点坐标为(32，254)．设该抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －4)．将(32，254)代入，得254＝a (32＋1)(32－4)，解得a ＝－1，故该抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)(x －4)＝－x 2＋3x ＋4.注意：本题也可运用顶点式求抛物线的表达式．10．[解析]D 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以y ＝a (x －3)(x ＋1)．又因为其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，所以y ＝－2(x －3)(x ＋1)，即y ＝－2x 2＋4x ＋6.11．[解析]D y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x 2－12x )＋21 ＝12[(x －6)2－36]＋21 ＝12(x －6)2＋3， 故y ＝12(x －6)2＋3向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为y ＝12(x －4)2＋3.12．解：(1)∵y ＝2x 2－4x ＋3＝2(x 2－2x ＋1－1)＋3＝2(x －1)2＋1，∴将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y ＝2(x －4)2＋3， ∴y ＝2x 2－16x ＋35，∴b ＝－16，c ＝35. (2)由y ＝2(x －4)2＋3得顶点坐标为(4，3)， 对称轴为直线x ＝4. 13．[答案]y ＝－x 2＋2x ＋3[解析]∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴b2＝1，解得b ＝2，又∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3，0)， ∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3， 故函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.14．解：(1)(答案不唯一)顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称． (2)y ＝2(x －2)2＋1 y ＝a (x ＋h )2＋k (3)若点A 在y 轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A ，B ，O ，C ，得到一个面积为24的菱形，由BC ＝6，得OA ＝8， 则点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－3，4)． 设一个抛物线的表达式为y ＝a (x ＋3)2＋4. 将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8，解得a ＝49.二次函数y ＝49(x ＋3)2＋4的“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x －3)2＋4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于y 轴对称二次函数”的表达式还可以为y ＝－49(x ＋3)2－4，y ＝－49(x －3)2－4.综上所述，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x ＋3)2＋4，y ＝49(x －3)2＋4或y ＝－49(x ＋3)2－4，y ＝－49(x －3)2－4.。