（95-90）2+（85-90）2+（95-90）2 +（85-90）2+（90-90）2 = 100
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8
由于偏差可能是正数、零、负数，在求偏差的和时，正、负数
恰好相互抵消，结果为零,所以不能用偏差的和表示一组数据的离散
程度.
为了刻画一组数据的离散程度，通常选用偏差的平方的平均数
来描述．
S2= （x1－ x
数据波动情况更敏感的指标.
在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡
量一组数据的波动大小.
标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位
是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据
单位相同.
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15
1、一个样本的方差是
S 2 1 0 1 0 [(x 1- 8 )2+ (x 2- 8 )2+ + (x 1 0 0- 8 )2 ]
方差越小，这组数据的离散程 度越小，数据就越集中，平均
数代表性就越大.
例1某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球5 次，在10天中，运动员大刚的进球个数分别是：
5453352535 （1）求大刚进球个数的平均数； （2）求大刚进球个数的方差.
解:（1）大刚进球个数的平均数为
x 5 + 4 + 5 + 3 + 3 + 5 + 2 + 5 + 3 + 5 =4(个); 10
乙成绩各数据的偏差：5， -5， 5， -5，0.
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5
甲同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（85-90）+（90-90）+（90-90）+（90-90）+
（95-90）= 0
乙同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90）
+（90-90）= 0
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则这个样本中的数据个数是_1_0_0_，平均数是__8__
老师的烦恼
甲，乙两名同学的测试成绩统计如下：
甲 85 90 90 90 95
乙 95 85 95 85 90
⑴ 请分别计算两名同学测试成绩的平均分和极差；
_
_
x甲9(0分) x乙9(0分)
甲成绩的极差=95-85=10 乙成绩的极差=95-85=10
（2） 现要挑选一名同学参加竞 赛，若你是老师，你认为 挑选哪一位比较适宜？为什么？
1 0 1 1 1 1 4
1 1 1
s2 1+ 0 +1+L+1 1.2（个2） 10
由于方差S2的单位与原始数据单位不一致，因此在实际 应用中常常求出方差后，再求它的算术平方根，这个算术平 方根称为这组数据的标准差，用S表示.
s (x1 - x)2 + (x2 - x)2 + L(xn - x)2 . n
标准差也是表示一组数据离散程度的量.
例1某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球5 次，在10天中，运动员大刚的进球个数分别是： 5453352535
（1）求大刚进球个数的平均数； （2）求大刚进球个数的方差. （3）求大刚进球个数的标准差. 解:（1）大刚进球个数的平均数为
x 5 + 4 + 5 + 3 + 3 + 5 + 2 + 5 + 3 + 5 =4(个); （2）大刚进球个数的1方0 差为
=(x1+x2+x3+……+xn) －n x
=(x1+x2+x3+……+xn)
－n·
1 n
( x1+
x2+
x3
+
L
+
xn )
=0
甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（85-90）2+（90-90）2+（90-90）2 +（90-90）2+（95-90）2 = 50
乙同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
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3
在一组数据中，每个数据与平均数的差叫 做这个数据的偏差． 偏差可以反映一个数据偏离平均数的程 度．
试一试：求各数据的偏差如何 ？
老师的烦恼
甲，乙两名同学的测试成绩统计如下： 甲 85 90 90 90 95 乙 95 85 95 85 90
甲成绩各数据的偏差：-5, 0， 0， 0 ，5.
)2＋（x2－ x
)2＋（x3－ x n
)2＋
……
＋（xn－
x)2
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方 的平均数，叫做这组数据的方差（variance ) ，通常用 S2 表示，即
S2= 1 （[ x1－ x )2＋（x2－ x )2＋（x3－ x )2＋ …… ＋（xn－ x) 2 ] n
6
能用偏差的和表示一组数据 的离散程度吗？
设 x 是数据为x1、 x2、 x3、……、xn的平均数，
n为数据的个数，那么
这是不是偶然
x
1 n
( x1+
x2+
x3
+
L
+
xn )
现象呢？
x1－x 、 x2－x 、 x3－x x 、……、xn－ 分别表示每个数据的偏差.
（x1－ x )＋（x2－ x )＋（x3－ x )＋ ……＋（xn－ x )
温故知新
1.一组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差，即
极差＝最大数据一最小数据．
2.极差反映一组数据的波动范围，用极差描述这组数据的 离散程度简单明了．极差越大，数据的离散程度越大．
3.由于极差忽视了一组数据中所有数据之间的差异，仅仅 由其中的最大值和最小值所确定，个别远离群体的极端值 在很大程度上会影响极差，因而极差往往不能充分反映一 组数据的实际离散程度．
s2 (5 - 4)2 + (4 - 4)2 + (5 - 4)2 +L + (5 - 4)2
10
=1.2
（3）大刚进球个数的标准差为
s s2 1.2 1.09(个)
发现：
方差或标准差越小，离散程度越小，波动越小. 方差或标准差越大，离散程度越大，波动越大
总结:
极差----反映一组数据变化范围的大小；
（2）大刚进球个数的方差为
s2
(5
-
4)2
+
(4
-
4)2
+ (5 10
4)2
+L+
(5 -
4)2
=1.2
也可以采用列表的方法求大刚进球个数的方差:
数据xi 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5
平均数 x
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
xi－ x
1 0 1
-1 -1 1
-2 1
-1 1
（xi－x ）2
方差与标准差------ 描述一组数据的波动大 小.
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区别：极差反映一组数据的变化范围，主要反映 一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他 的数据的波动不敏感.
方差主要反映整组数据的波动情况，是反映一组
数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个
数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组