一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在数列{a n }中，a n ＝31﹣3n ，设b n ＝a n a n+1a n+2（n ∈N *）．T n 是数列{b n }的前n 项和，当T n 取得最大值时n 的值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．82．若0a >，0b >，26a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．53D ．833．已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()UA B ⋃为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}5．已知直线l 和平面α，若直线l 在空间中任意放置，则在平面α内总有直线'l 和()lA ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交6．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）A ．24πB ．86πC ．6πD 6π7．若,a b ∈R 且||a b <，则下列四个不等式：①()0a b a +>，②()0a b b -<，③20b a ->，④33a b >中，一定成立的是（ ） A ．①②B ．③④C ．②③D ．①②③④8．函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0B ．33C ．1D 39．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒10．sin50sin 20sin 40cos20︒︒+︒︒=( ) A ．3 B ．3-C ．12-D ．1211．一游客在A 处望见在正北方向有一塔B ，在北偏西45︒方向的C 处有一寺庙，此游客骑车向西行1km 后到达D 处，这时塔和寺庙分别在北偏东30和北偏西15︒，则塔B 与寺庙C 的距离为( ) A ．2kmB ．3kmC ．2kmD ．1km12．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变二、填空题：本题共4小题13．若点()5,1P -为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在的直线的方程为___________. 14．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____． 15．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++等于__________．16．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，若ABC ∆的面积是315，2b c -=，1cos 4A =-．求BC的长． 18．已知3sin 5θ=，02πθ<<. （1）求tan θ的值； （2）求2sin cos sin 2cos θθθθ-+的值.19．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若E 为BC 的中点，60ABC ︒∠=，求证：平面PAD ⊥平面PAE .20．（6分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA=AD ．（Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ； （Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ． 21．（6分）如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是的中点，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.22．（8分）（1分）设数列{a n }是公比为正数的等比数列，a 1=2，a 3﹣a 2=1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n +b n }的前n 项和S n ．参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】由已知得到等差数列{}n a 的公差0d <，且数列{}n a 的前11项大于1，自第11项起小于1，由12n n n n b a a a ++=，得出从1b 到8b 的值都大于零，9n =时，90,10b n <=时，100b >，且109b b >，而当11n ≥时，0n b <，由此可得答案． 【详解】由313n a n =-，得1280a =>，等差数列{}n a 的公差30d =-<， 由3130n a n =->，得313n <，则数列{}n a 的前11项大于1，自第11项起小于1． 由12,()n n n n b a a a n N *++=∈，可得从1b 到8b 的值都大于零，当9n =时，90,10b n <=时，100b >，且109b b >，当11n ≥时，0n b <， 所以n T 取得最大值时n 的值为11. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了数列递推式，以及数列的和的最值的判定，其中解答的关键是明确数列{}n b 的项的特点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 2．B 【解析】 【分析】 根据题意，得出1211214()(2)(4)66b aa b a b a b a b+=+⋅+=++，利用基本不等式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，因为0,0,26a b a b >>+=，则1211214114()(2)(4)(4(44)66663b a a b a b a b a b +=+⋅+=++≥+=+= 当且仅当4b aa b =且26a b +=即3,32a b ==时取得最小值43.故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．B 【解析】 【分析】令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a 的取值范围. 【详解】 令g(x)=0得f(x)=a, 函数f(x)的图像如图所示，当直线y=a 在x 轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a 有四个零点， 所以0＜a ＜1. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 4．C 【解析】 【分析】先根据全集U 求出集合A 的补集UA ，再求UA 与集合B 的并集()U A B ⋃．【详解】 由题得，{}0,4,UA ={}{}{}()0,42,40,2,4.U AB ∴⋃=⋃=故选C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题． 5．A【解析】 【分析】本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下再讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直． 【详解】当直线l 与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线l 的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B 错． 当直线l 与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线l 的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D 错． 当直线a 在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线l 的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C 错． 不管直线l 与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内， 都可以在平面α内找到一条直线与直线'l 垂直， 因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A 正确． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力． 6．D 【解析】 【分析】易得该几何体为三棱锥,再根据三视图在长方体中画出该三棱锥,再根据此三棱锥与长方体的外接球相同求解即可. 【详解】在长方体中画出该几何体,易得为三棱锥,且三棱锥与该长方体外接球相同.又长方体体对角线等于外接球直径2R ==故R =.故外接球体积334433V R ππ==⨯=⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了三视图还原几何体以及求外接球体积的问题,属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】根据,a b ∈R 且||a b <，可得0b <，||a b <，且a b <，0a b +>，根据不等式的性质可逐一作出判断． 【详解】由,a b ∈R 且||a b <，可得0b <， ∴||a b <，且a b <，0a b +>，由此可得①当a=0时，()0a b a +>不成立， ②由0a b -<，0b <，则()0a b b -<成立， ③由0b <，a b <，可得20b a ->成立， ④由a b <，若0a b <<，则33a b >不成立， 因此，一定成立的是②③， 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】根据题意可知函数周期为3π，利用周期公式求出ω，计算即可求值. 【详解】由正切型函数的图象及相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π知，3T ππω==，所以3ω=，()tan(3)tan 112124f ππππ=+⨯==，故选C. 【点睛】本题主要考查了正切型函数的周期，求值，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】利用异面直线1AA 与BC 所成角的的定义，平移直线BC ，即可得答案． 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，易得190A AD ∠=︒．//AD BC∴异面直线1AA 与BC 垂直，即所成的角为90︒.故选：D ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】将sin50根据诱导公式化为cos 40后，利用两角和的正弦公式可得. 【详解】sin50sin20sin40cos20︒︒+︒︒ cos40sin 20sin 40cos20=︒︒+︒︒sin 60=︒=. 故选：A 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了两角和的正弦公式，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】先根据题干描述，画出ABCD 的相对位置，再解三角形． 【详解】如图先求出AC ，AB 的长，然后在ABC ∆中利用余弦定理可求解．在ABD ∆中，1AD =，可得3AB =在ACD ∆中，1AD =，105ADC ∠=︒，30DCA ∠=︒， ∴sin sin AC AD ADC DCA =∠∠，∴sin 62sin 2AD ADC AC DCA ⋅∠==∠． 在ABC ∆中，2228436222cos 453232422BC AC AB AC AB +=+-⋅⋅︒=+-⨯=， ∴2BC =故选C. 【点睛】本题考查正余弦定理解决实际问题中的距离问题，正确画出其相对位置是关键，属于中档题． 12．A 【解析】 【分析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【详解】当10k -<<时，()011011nk k <+<<+<，， 所以()001nn P P k P =+<，呈下降趋势． 【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断． 二、填空题：本题共4小题 13．2110x y --=； 【解析】 【分析】利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦． 【详解】圆标准方程为22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)C ，101532CP k --==--， ∵P 是MN 中点，∴CP MN ⊥，即12MN PCk k =-=， ∴MN 的方程为12(5)y x +=-，即2110x y --=． 故答案为2110x y --=． 【点睛】本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长l =d 为圆心到弦所在直线的距离）． 14．（-4，2） 【解析】试题分析：因为2142(2)()4+48y x x y x y x y x y +=++=+≥+=当且仅当2x y =时取等号，所以22842m m m +<⇒-<< 考点：基本不等式求最值 15．50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===，填50. 16．3:1:2 【解析】 【分析】 【详解】 设球的半径为r,则2322V r r r ππ=⨯=圆柱,3212233r V r r ππ=⨯=圆锥， 343V r π=球，所以33324::2::3:1:233r V V V r r πππ==圆柱圆锥球，故答案为3:1:2.考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为22314,,33V r h V r h V r πππ===圆柱圆锥球. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。