立体几何平行证明问题讲义
（一）平行的问题
一“线线平行”与“线面平行”的转化问题
（一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，（如例1求证：PB//平面AEC P 、B 为顶点，平面AEC 内E 为中点）采用中位线法。
具体做法：如例1,平面AEC 的三个顶点，除中点E 夕卜，取AC 的中点0,连接EQ 再 确定由直线 PB 和中点E 、O D 确定的 PBD （连接 PBD 的第三边BD ），在 PBD 中，E0为 PB 的中位线。
a
【习题巩固一】
1. （2011天津文）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，0为AC 中点 M 为PD 中点.（I ）证明：PB//平面ACM ;
规范写法： a//b,a ,b , b// 例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥
求证：PB//平面AEC ； P ABCD 中，点E 是PD 的中点
.
例2三棱柱ABC ABiG 中，D 为AB 边中点。
求证: AG // 平面 CDB ,;
b
A
B 1
B
A C
B
21. （2013年高考课标U卷（文））如图,直三棱柱ABC-ABG中,D是AB的中点.（1）证明
BC// 平面A i CD;
2. （2011 四川文）如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1 中，/ BAC=90° AB=AC=AA i=1 ,延长A i C i
至点P,使C1P = A1C1，连接AP交棱CC1于D . 求证：PB1//平面
BDA1；
（二）平行四边形法：当直线上有一个中点（如例1证明：FO//平面CDE ；O为中点）采用平行四边形法。
具体做法：FO先与E连接（原因是ECD的三个顶点E、C D中只有E与已知平行条件EF//BC有关）,再与ECD的另两个顶点CD的中点M相连，构成平行四边形FOE（原因是EF//OM, EF=OM,从而FO//EM。
规范写法（如图）：
EF//GH,EF GH , EFGH 是平行四边形EH//FG,EH ,FG , EH //
例1【天津高考】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE
是等边三角形，棱EF〃〔BC . （1）证明：FO//平面CDE ;
2
例2 (2013年高考福建卷(文)如图，在四棱锥P—ABCD中，PC L平面ABCQ AB// DC AB 丄AD BC= 5, DC= 3, AD= 4,Z PA— 60° .若M 为PA 的中点,
求证：DM //面PBC ;
例3 (2010陕西文)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,
AP=AB, BP=BC=2，E，F 分别是PB,PC 的中点.(I )证明：EF//平面FAD; (II)若H 是AD 的中点，证明：EA//平面PHC
【习题巩固二】
1. 【2010 •北京文数】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直
EF//AC, AB=/2 ,CE=EF=1 (I)求证：AF// 平面BDE
2. (2013年高考山东卷(文))如图,四棱锥P ABCD中，AB// CD, AB 2CD ,E为
PB的中点(I )求证:CE//平面PAD ；
MP NP 贝U 面 MNP//平面 BCGB ,
// 【如下图①】
,aI b O,a',b' ,a//a',b//b' // 【如上图②】
Tep2: // a a// （面面平行 线面平行）;
例1三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，M,N 分别是AB , AC 的中点.求证:
MN // 平面 BCC^ ;
3. （2012广东）如图5所示，在四棱锥P ABCD 中，AB 平面PAD , AB//CD,PD AD ,
1
E 是PB 中点，
F 是DC 上的点，且DF AB ，PH 为 PAD 中AD 边上的高。
（3）证明： 2
EF //平面 PAD .
• “线面平行”与“面面平行” 的转化问题
中截面法：当直线上有两个中点 （如例1证明：MN //平面BCC& ）采用中截面法，如例1只 要做出平面BCC&的中截面。
图5 具体做法：取AC 中点P,连接 ,b 〃 或者Tep1: a,b C
例2 （2013年辽宁卷（文））如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.
（II）设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC.
【习题巩固三】
1.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD BC，E,F分别为棱AB,PC的
中点.⑵求证：EF II平面PAD .
2.如图,长方体ABCD- A1B1C1D1中,M、N分别是AE、CD,的中点。
（I）求证：MN //平面ADD1A1;
D
3. （2012辽宁文科）如图，直三棱柱ABC A/B/C/，点M,N分别为A B和B’C，的中点。
（I ）
证明：MN //平面AACC ；
立体几何经典题精选题重点复习题型篇
（一）平行的问题参考答案
一•“线线平行”与“线面平行”的转化问题
（一）例1证明：连接BD AC BD=O连接E0,在PBD中，OD=OJB E0为PB的中位线，EO//PB,又E0 面AEC, PB 面AEC , PB//面AEC
例2证明：连接BSQC BE 0，连接OD在AB C!中，OB 00 , 0D为AG的中位线，
OD//AC,,又0D 面CDB^AC, 面CDB,, AC,// 面CDB,
【习题巩固一】
1•证明：连接BD，M0 ,在平行四边形ABCD中，因为0为AC的中点，所以0为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。
因为PB 平面ACM，M0 平面ACM，所以PB//平面ACM。
2. 证明：连接AC,, A,C AC, 0,连接OD在AB C,中，OA OC,，OD为B C,的中位线，
OD// BC i,又OD 面CDA,, BC, 面CDA,, BC,//面CDA,
3. 连结AB,与BA,交于点O,连结OD, v CD //平面AA,,A,C, // AP, /• AD=PD，又AO=B,O, •••OD // PBj 又OD 面BDAj PB,面BDA,,A PB, / 平面BDA「
（二）例,证明：取CD的中点M 连接OM EM EF//OM, EF=OM FOEMfe平行四边形，从而
FO//EM,又EM 面CDE,FO 面CDE , F0//面CDE
例2证明：取PB中点N ,连结MN , CN在PAB中，M是PA中点,
1 • •• MN PAB , MN AB 3,又
CD PAB , CD 3 /. MN PCD , MN CD 2 •四边形MNCD 为平行四边形，二DM PCN
又DM 平面PBC , CN 平面PBC • DM P 平面PBC
例3证明：（I ）在厶PBC 中, E , F 分别是PB PC 的中点，• EF// BC
又 BC// AD • EF / AD 又 T AD 平面 PADEF 平面 PAD • EF//平面 PAD （II ）连接FH 易证EAFH 是平行四边形，所以EA//FH,从而得证。
【习题巩固二】
1. 证明：（I ）设AC, BD 交于点G 因为EF / AG 且EF=1, AG=1 所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF / EG
因为EG 平面BDE,AF 平面BDE 所以 AF//平面BDE
2. 证明：取PA 中点M ，连结MD , ME 因为
E 是PB 的中点，所以ME // 1 AB 。
2
所以四边形MDCE 是平行四边形，
CE // DM ,又 CE 面 PDA,DM 面 PDA ， CE//面 PDA 3. 证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。
因为E 是PB 的中点，所以ME // 1 AB 。
因为DF // 1 AB ，所以ME// DF ， 2 2
所以四边形MEDF 是平行四边形，
EF // DM ,又EF 面PDA, DM 面PDA ， EF//面PDA
“线面平行”与“面面平行”的转化问题 例1略
例2连0G 并延长交AC 于M ，连接QM ，Q0,由G 为A AOC 的重心，得M 为AC 中点.
由Q 为PA 中点，得QM //PC.又O 为AB 中点，得OM //BC.
因为 QM n MO = M , BC n PC = C ,所以平面 QMO //平面 PBC.
因为QG 平面QMO ，所以QG //平面PBC.
【习题巩固三】
1•思路：取PB 的中点M ，连接ME 、EF ,证明面 MEF//面PAD
// 4 // 因为CD 1AB ，所以CE DM ，
2思路：取CD的中点Q,连接MQ、NQ，证明面MNQ//面AD D i A
3.证明：取AB的中点为P,连结MP NP T M,N分别为A/B和B/C/的中点，
••• MP/ AA,NP// AC , A MP//面AACC,NP//面A ACC , v MP NP P , •••面MP/面A ACC , v MN 面A ACC , A MN/面A ACC .。