第十一章组合变形(习题解答)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：10-3 试求图示[16a 简支梁由于自重作用所产生的最大正应力及同一截面上AB 两点的正应力。

(-) (-)(-)q q y4.2mC φo=20(+)(+) (+)qq zAB解：(1)查表可矩[16a 的理论重量为17.24kg/m ，故该梁重均布载荷的集度为172.4N/m 。

截面关于z 轴对称，而不关于y 轴称，查表可得：364640108cm 10810,73.3cm 0.73310m ,63mm =0.063m , 1.8cm =0.018mz y W I b z --==⨯==⨯==⑴外力分析：cos 172.4cos 20162.003/sin 172.4sin 2058.964/y z q q N m q q N mϕϕ======o o⑵内力分析：跨中为危险面。

32,max 32,max 11162.003 4.2357.217881158.964 4.2130.01688z y y z M q l N mM q l N m==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：A 、B 点应力分析如图所示。

A 点具有最大正应力。

,max,max max 66,max,max max 066357.217130.016(0.0630.018)11.29MPa 108100.73310357.217130.0160.018 6.50MPa108100.73310y z A A z y y z B zyM M z W I M M z W I σσσσ---+--==--⋅=--⨯-=-⨯⨯==++⋅=+⨯=⨯⨯max 11.29MPa A σσ==-10-4 试求图示简支梁的最大正应力，及跨中的总挠度。

已知弹性模量100Pa E G =。

解：(1) 外力分析：由于集中力在横截面内与轴线垂直，故梁将发生斜弯曲。

cos 10cos159.66kN sin 10sin15 2.59kNy z P P P P ϕϕ======o o⑵内力分析：集中力作用在跨中，故跨中横截面为危险面。

,max ,max119.6637.245kN m 44112.593 1.943kN m 44z y y z M P l M P l ==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：跨中横截面D 2、D 1点分别具有最大的拉压应力，应力分析如图所示。

133,max,maxmax227.24510 1.94310(Pa)110.150.200.200.15667.245 2.591(MPa)9.836MPay z D z yM M W W σσ+⨯⨯==++=+⨯⨯⨯⨯=+=2,max ,max max 7.245 2.591(MPa)9.836MPa y z D zyM M W W σσ-==--=--=-（4）求梁的跨中的总挠度。

9.66kN y P =使简支梁上下弯曲，发生挠度f y ; 2.59kN z P =使简支梁前后弯曲，发生挠度f z 。

查《教材》P.156第12栏，可知跨中的挠度333-439333-4399.6610310m=0.5434mm 480.150.2048(10010)122.59103 2.5910m =0.259mm 480.200.1548(10010)12y y z z z y P l f EI P l f EI ⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯故：2222-45.434 2.5910m 0.602mm 5.434tan 2.09864.522.59z y z y f f f f f ββ=+=+====→=o10-5 由木材制成的矩形截面悬臂梁受力、尺寸如图所示。

材料的弹性模量41.010MPa E =⨯。

试：（1）求梁的最大正应力及其作用点的位置；（2）求梁的最大挠度。

（3）如果截面是圆形，130mm d =，试求梁横截面的最大正应力。

2my 1mD 2D 1z x+ + +180(-)(-)(-)(-)D 290(+)(+)(+)(+)D 1- - -y zP 2=0.8kNP 1=1.6kNMy x(N m)(N m)3200xP 2Mz-800-P 1解：（1）求梁的最大正应力及其作用点的位置①外力分析，判变形。

P 1使梁发生水平面内绕y 轴转动的弯曲。

P 2使梁发生铅垂平面内绕z 轴转动的弯曲。

梁发生斜弯曲。

②内力分析，判危险面：P 1 、P 2都在固定端面引起最大弯矩，固定端面为危险面。

,max 1,max 22160023200(1800()y z M P M P =⨯=⨯=⋅=⨯=⋅N m)N m③应力分析，判危险点，如右所示图P 1使危险面上出现前压后拉的应力，P 2使危险面上出现上拉下压的应力。

故，固定端右截面上危险点是：前下角D 1和后上角D 2。

,max ,max max maxmax223200800Pa 14.8MPa110.180.090.090.1866y z y z M M W W σσσ+-===+=+=⨯⨯⨯⨯（2）求梁的最大挠度。

查《教材》P.154第4栏，可知333231033313100.8101(3)(321)0.001524m 0.090.1866(110)121.61020.03902m 0.180.0933(110)12y zz yP a f l a EI Pl f EI ⨯⨯=-=⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯故：()()22220.039020.0015240.039m0.03902tan 25.7287.770.001524z y z y f f f f f ββ=+=+====→=o（3）当截面是圆形时，求梁横截面的最大正应力 当截面是圆形时梁发生平面弯曲，由于截面寻找中性轴难度大，我们将两个平面的弯矩合成，是几何合成而不是代数相加。

固定端面的合成弯矩为：2222max ,max ,max 80032003298.48(N m)z y M M M =+=+=⋅22,max ,maxmax max33298.48Pa 15.29M 0.1332z y M M M W Wσπ+====⨯11-9 简支折线梁受力如图所示，截面为25cm ×25cm 的正方形截面，试求此梁的最大正应力。

φP/22.4mzP2.4m NVyM+ + +- - -----25252mD 1ABCD 2M 图（kN .m ）N （kN ）2.561--9.6解：（1）外力分析，判变形。

由对称性可知，A 、C 两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折线梁将发生压弯组合变形。

(2)内力分析，判危险面：从下端无限靠近B 处沿横截面将简支折线梁切开，取由右边部分为研究对象，受力如图所示。

梁上各横截面上轴力为常数，B 横截面具有最大弯矩，故B 横截面为压弯组合变形危险面。

,max 22244249.6(k 282cos =2.561(k )222 2.4y P M P N ϕ=⨯=⨯=⋅=⨯=⨯+..N m)N(3)应力分析，判危险点，如右所示图由于截面为矩形，而D 1 D 2是压弯组合变形的压缩边缘，故危险面上D 1 D 2边缘是出现最大压应力。

,maxmax3324362.561109.610Pa 0.040976 3.6864MPa 3.727MPa 1251025106z zM N A W σ---=+⨯⨯=+=+=⨯⨯⨯11-10 水塔盛满水时连同基础总重量为G ，在离地面H 处，受一水平风力合力为P 作用，圆形基础直径为d ,基础埋深为h ，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m 2，试校核基础的承载力。

P =60kNh =3mG =6×10 kNH =15md =6m+-----z3解：（1）外力分析，判变形。

主动力、约束反力均在在纵向对称面内左右弯，基础及盛满水的水塔的重量使结构发生轴向压缩变形，而风荷载使其发生左拉右压弯曲。

结构发生压弯组合变形。

(2)内力分析，判危险面：基础底部轴力、弯矩均达到最大值，故该横截面为压弯组合变形的危险面。

,max 315+36018108(k 610(k y M P N G =⨯=⨯=⋅==⨯（）N m)N)(3)应力分析，判危险点，如右所示图由于截面为圆形，中性轴是左右对称的水平直径所在线上，最右边点压弯组合变形的压缩边缘将出现最大压应力。

（4）强度计算。

[],max max6323-61010810--Pa -212.21-50.93kPa 263.14kPa 300kPa66432z zM N A W σσππ-=⨯⨯===≤=⨯⨯11-11 试求图示具有切槽杆的最大正应力。

+ + +10(-)(-)(-)(-)D 25(+)(+)(+)(+)D 1- - - y zP =1kN4040101010P =1kNxy zM yM Z+ + + + + + + +5解：（1）外力分析，判变形。

P 与缺口轴线平行不重合，所以发生双向偏心拉伸。

(2)内力分析，判危险面：从缺口处沿横截面将梁切开，取由右边部分为研究对象，将集中力作用点在端部平移到与缺口对应的形心位置，受力如图所示。

可先将集中力向前水平平移2.5mm,则附加My ；再将力向下平移5mm ，则附加Mz 。

梁上各横截面上轴力、弯矩均为常数。

332.510 2.5(5105(1(k y z M P M P N P =⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅==N m)N m)N)(3)应力分析，判危险点，如右所示图整个横截面上均有N 引起的均布的拉应力，My 引起后拉前压的弯曲应力，Mz 引起上拉下压的弯曲应力，点于D 2点三者可以均引起拉应力，可代数相加。

622991000 2.55=Pa 51010105510101066206060MPa 140MPay z y z M M N A W W σ---++=++⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++= 11-12 矩形截面悬臂梁受力如图所示。

确定固定端截面上中性轴的位置，应力分布图及1、2、3、4四点的应力值。

600y4zx5kN25kN25100150123Kzya ya za ya zK4321(+) (+) (+) (+)D 2(-) (-) (-) (-)D 1yz中性轴中性轴解：（1）外力分析，判变形。

5kN 作用下构件在xy 平面内上下弯曲；25kN 作用下构件发生轴向压缩的同时，还将在xz 平面内前后弯曲。

结构将发生双向偏心压缩组合变形。

(2)内力分析，判危险面：5kN 作用下构件将使M z 在固定端面达到最大值弯矩,max 50000.63000N m z M =⨯=⋅;25kN 作用下使构件各横截面具有相同的内力，3325000N ,25102510625N m y N M -==⨯⨯⨯=⋅。