曲线运动、万有引力应用例析（竞赛班辅导材料）本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。

（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。

（3）万有引力定律及其运用。

（4）运动的合成及分解。

注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。

近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。

卫星问题及现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。

本章内容常及电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。

一、夯实基础知识1、深刻理解曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

（2）曲线运动的特点：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。

②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。

做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。

2、深刻理解运动的合成及分解物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。

运动的合成及分解基本关系：分运动的独立性；运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；运动的等时性；运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。

）3.深刻理解平抛物体的运动的规律（1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。

物体受恒力作用，且初速度及恒力垂直，物体做类平抛运动。

（2）．平抛运动的处理方法通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。

(3)．平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，水平初速度V 0方向为沿x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.①位移分位移t V x 0 ,,合位移,.图1ϕ为合位移及x 轴夹角.②速度分速度0V V x =, , 合速度220)(gt V V +=,.θ为合速度V 及x 轴夹角(4)．平抛运动的性质做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。

4.深刻理解圆周运动的规律(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。

(2)．描述匀速圆周运动的物理量①线速度v ，物体在一段时间内通过的弧长S 及这段时间t 的比值，叫做物体的线速度，即。

线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。

线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。

②角速度ω，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度θ及这段时间t 的比值叫做匀速圆周运动的角速度。

即ω=θ。

对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是。

③周期T 和频率f(3)．描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:(4)、向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。

对于匀速圆周运动物体其向心力应由其所受合外力提供。

r mf r Tm r m r V m ma F n n 22222244ππω=====. 5.深刻理解万有引力定律（1）万有引力定律：自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。

公式：，6.67×10-1122.适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。

（2）万有引力定律的应用：讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即。

所以重力加速度 G ，可见，g 随h 的增大而减小。

求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。

求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。

由2r Mm r V 2得，由2rMm (2π)2得2π。

由2rMm ω2得ω=，由21221r Mm 。

(3)三种宇宙速度：第一宇宙速度V 17.9,人造卫星的最小发射速度；第二宇宙速度V 211.2,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度V 316.7,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

二、解析典型问题问题1：会用曲线运动的条件分析求解相关问题。

例1、质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做( )A．匀加速直线运动；B．匀减速直线运动；C．匀变速曲线运动；D．变加速曲线运动。

分析及解：当撤去F1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F1，方向及F1方向相反。

若物体原来静止，物体一定做及F1相反方向的匀加速直线运动。

若物体原来做匀速运动，若F1及初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。

若F1及初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。

正确答案为：A、B、C。

例2、图1中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。

若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（）A．带电粒子所带电荷的符号；B．带电粒子在a、b两点的受力方向；图1C．带电粒子在a、b两点的速度何处较大；D．带电粒子在a、b两点的电势能何处较大。

分析及解：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在a、b间受力情况是不可能判断其带电情况的。

而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在a、b两点所受到的电场力的方向都应在电场线上并大致向左。

若粒子在电场中从a向b点运动，故在不间断的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。

故选项B、C、D正确。

问题2：会根据运动的合成及分解求解船过河问题。

例3、一条宽度为L的河流，水流速度为,已知船在静水中的速度为，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若>,怎样渡河位移最小？（3）若<,怎样注河船漂下的距离最短？分析及解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游及河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1θ,渡河所需时间为：.可以看出：L、一定时，t随θ增大而减小；当θ=900时，θ=1,所以，当船头及河岸垂直时，渡河时间最短，.2图2甲图2乙图2丙(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。

为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度V 的方向及河岸垂直。

这是船头应指向河的上游，并及河岸成一定的角度θ。

根据三角函数关系有：θ─0.所以θ,因为0≤θ≤1,所以只有在>时，船才有可能垂直于河岸横渡。

（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。

怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头及河岸成θ角，合速度V 及河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以的矢尖为圆心，以为半径画圆，当V 及圆相切时，α角最大，根据θ,船头及河岸的夹角应为：θ. 船漂的最短距离为：θθsin )cos (min c c s V L V V x -=. 此时渡河的最短位移为：.问题3：会根据运动的合成及分解求解绳联物体的速度问题。

对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。

求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。

图4例4、如图3所示，汽车甲以速度v 1拉汽车乙前进，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，求v 1∶v 2分析及解：如图4所示，甲、乙沿绳的速度分别为v 1和v 2α，两者应该相等，所以有v 1∶v 2α∶1例5、如图5所示，杆长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M 。

滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，之间的距离为H 。

某一时刻，当绳的段及之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率. 分析及解：杆的端点A 点绕O 点作圆周运动，其速度的方向及杆垂直，在所考察时其速度大小为：ωR对于速度作如图6所示的正交分解，即沿绳方向和垂直于方向进行分解，沿绳方向的分量就是物块M 的速率，因为物块只有沿绳方向的速度，所以β 由正弦定理知，由以上各式得ωα.A ω问题4：会根据运动的合成及分解求解面接触物体的速度问题。

求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

例6、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。

在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。

当杆及半圆柱体接触点P 及柱心的连线及竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。

分析及解：设竖直杆运动的速度为V 1，方向竖直向上，由于弹力方向沿方向，所以V 0、V 1在方向的投影相等，即有 θθcos sin 10V V =，解得V 10θ.问题5：会根据运动的合成及分解求解平抛物体的运动问题。

例7、如图8在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度V 0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求（1）小球从A 运动到B（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？分析及解：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从图8A 运动到B 处所需的时间为t,则：水平位移为0t 竖直位移为221gt由数学关系得到:g V t t V gt θθtan 2,tan )(21002== （2）从抛出开始计时，经过t 1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度及斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。

因110θ,所以。

例8、如图9所示，一高度为0.2m 的水平面在A 点处及一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V 05m 的速度在平面上向右运动。

求小球从A 点运动到地面所需的时间（平面及斜面均光滑，取10m 2）。