九年级数学学科期末练习卷（2015年1月）（新中初）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．除第一、二大题外，其余各题无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤．—、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确项的代号写在括号内】 1. 把△ABC 的各边长都增加两倍，则锐角A 的正弦值 ……………………………… （ ）（A ）增加2倍 （B ）增加4倍 （C ）不变 （D ）不能确定2. 下列式子中，正确的是……………………………………………………………… （ ）（A ）3(2)36a b a b +=+r r r r （B ）()a b a b --=--r r r r（C ）00a +=r r r （D ）00a ⋅=r3．在△ABC 中，直线DE 分别与边AB 、AC 相交于点D 、E ，在下列条件中，不能推出△ABC 与△ADE 相似的是 ……………………………………………………（ ）（A ）EC AE BD AD = （B ）AC AD AB AE = （C ）BCDEAB AD =（D ）ACB ADE ∠=∠ 4．如图，在4×4的正方形网格中，则tanα的值是 …………………………………（ ） （A ）1 （B ）52（C ）12 （D ）25．某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为……………………………………………………………………… （ ）（A ）αcos 5 （B ）αcos 5 （C ） αsin 5 （D ） αsin 56．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,BC =6，AC =8，将△ABC 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE : S △BDE 等于 …………………………………………………（ ）（A ）2：5 （B ）14:25 （C ）16:25 （D ）4:21第第4题图第6题图E DAF二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若==+yxy y x 则,38 ． 8．若单位向量e r 与a r 方向相反，且5a =r，则a =r e r ．9．在△ABC 中，∠C ＝900，AC=3，AB=5，则cos B ＝__________．10．已知α为锐角,且21tan =α,则sin α=_________. 11．已知抛物线322--=x x y ，它的图像在对称轴 （填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的；12．如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BFFD= ． 13．如图，如果123////l l l ，AC =12，DE =3，EF =5，那么BC =__________．14．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为边AC 、AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，AE ＝3，BE＝4，则AD ⋅AC ＝_______.15．如图，四边形PMNQ 是正方形，△ABC 的高AD =6cm ，BC =12cm ，则正方形PMNQ 的边长是 cm. 第12题图 第14题图 第15题图16．已知斜坡的坡度为3:1，如果斜坡长为100米，那么此斜坡的高为_____ 米. 17．在离某建筑物底部30米处的地方，用测角仪测得该建筑物顶部的仰角为︒30，已知测角仪的高为1.5米，那么该建筑物的高为__________米（计算结果可以保留根号）. 18．在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线，简记为P （l x ）（x 为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C ，当BP=2PA 时，P （l 1）、P （l 2）都是过点P 的△ABC 的相似线（其中l 1⊥BC ，l 2∥AC ），此外，还有 条； （2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当BPBA= 时，P （l x ）截得的三角形面积l l l D EF C B ABC D 第20题图 AGE F 第21题图为△ABC 面积的14三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）（1）计算：︒-︒-+︒+︒30cot )45tan 2()45cos 60(sin 2．(2)22221332011x x x x +---=-+； 20．（本题满分10分）如图，在∆ABC 中，点G 是∆ABC 的重心，过点G 作EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC于点F ，==,，用向量a r 和b r 表示EF uuu r．21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90º,2sin 3A =，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ⊥AC ，垂足为点E ，DE ＝2，DB ＝9，求（1）BC 的长；（2）cos BCD ∠．第22题图 22．（本题满分10分）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台 高为l .6米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC (杆子的底端分别为D 、C )，且∠DAB =66. 5°．求点D 与点C 的高度差DH 以及所用不锈钢材料的总长度l (即AD +AB +BC ，结果精确到0.1米)．(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ．点D 是AB 的中点，联结CD ，过点B 作BG 丄CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ．（1）求ACAF的值； （2）求ABC AFG S S ∆∆的值．24．如图，已知抛物线y=x 2﹣（b+1）x+（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．ACB第23题图D GFE25．（本题满分14分）如图，已知90ABM ∠=o，AB =AC ，过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G ，延长AG 交BM 于D ；过点A 作AN ∥BM ，过点C 作EF ∥AD ，与射线AN 、BM 分别相交于点F 、E ． (1)求证：△BCE ∽△AGC ．(2)点P 是射线AD 上的一个动点，设AP =x ，四边形ACEP 的面积是y ，若AF =5，AD =325． ①求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．②当点P 在射线AD 上运动时，是否存在这样的点P ，使△CPE 的周长为最小？若存在，求出此时y 的值；若不存在，请说明理由．A FNB D E MCG2014学年度第一学期初三参考答案一、选择题 1、C 2、A3、C4、D5、B6、B二、填空题7、35 8、5- 9、54 10、5511、下降 12、32 13、21514、2115、416、50 17、5.131018、（1）1；（2）12或34或34解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P 作l 3∥BC 交AC 于Q ，则△APQ ∽△ABC ； 故答案为：1；（2）设P （l x ）截得的三角形面积为S ，S=14S △ABC ，则相似比为1：2． 如图2所示，共有4条相似线：①第1条l 1，此时P 为斜边AB 中点，l 1∥AC ，∴BP BA =12； ②第2条l 2，此时P 为斜边AB 中点，l 2∥AC ，∴BP BA =12；③第3条l 3，此时BP 与BC 为对应边，且BP BC =12，∴BP BA =cos30BP BC o =34；三、解答题 19.解：原式=3)12()2223(2--++…………………………………………………（8分）3123-++= ………………………………………………………（1分）12+=. ……………………………………………………………………（1分）20、解：∵点G 是△ABC 重心∴AG=2DG …………………………………………………………………………（2分） ∴23AG AD = ∵EF ∥BC∴32==AD AG BC EF ………………………………………………………………………（2分）即BC EF 32=………………………………………………………………………（1分）又∵==,∴--=+=………………………………………………………（3分）∴323232--==………………………………………………………（2分） 21、解：（1）在Rt △DEA 中，∵DE ＝2，sin A 32=∴3232sin =⨯==A DE AD ……………………………………………………………（2分）∴12=+=AD BD AB ………………………………………………………………（1分）在Rt △ABC 中， AB ＝12，sin A 32=∴83212sin =⨯=⋅=A AB BC ………………………………………………………（2分）（2）∵ 在Rt △ABC 中，128AB BC ==， ∴54=AC ……………………………………………………………………………（1分）在Rt △DEA 中，32==AD DE ， ∴5=AE ………………………………………………………………………………（1分）∴53554=-=CE , 7=CD …………………………………………………（1分）∵在Rt △DEC 中，2cos 7DE CDE CD ∠==……………………………………………（1分）∵DE ∥BC ∴CDE BCD ∠=∠∴2cos cos 7BCD CDE ∠=∠=………………………………………………………（1分）22、解： DH=1.6×34=l.2(米)．……………………………………………………………（3分） 过B 作B M ⊥AH 于M ，则四边形BCHM 是矩形．…………………………………（1分）MH=BC=1 ∴AM=AH-MH=1+1.2一l=l.2．…………………………………………（1分）在RtAMB 中，∵∠A=66.5°∴AB=1.23.0cos66.50.40AM ≈=︒(米)．…………………………………………………（3分）∴S=AD+AB+BC ≈1+3.0+1=5.0(米)． ………………………………………………（1分）答：点D 与点C 的高度差DH 为l.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米……（1分） 23、（1）证明：∵ ∠ABC =90°，AG 丄AB ∴AG ∥BC∴BCAGFC AF =……………………………………………………………………（1分）∵BG 丄CD ∴∠BCE +∠CBE=90°∵∠ABG +∠CBE=90°∴∠ABG=∠BCE ∵BA =BC ，∠BAG =∠CBD=90°∴GAB ∆≌DBC ∆ ∴AG=BD ……………………………………………（2分）∵点D 是AB 的中点 ∴21=BC BD ∴21==BC AG FC AF ……………（1分）∴31=AC AF ……………………………………………………………（2分）(2) ∵AG ∥BC ∴△AFG ∽△CFB∴41)(2==∆∆BC AG S S CFB AFG ∴CFB AFG S S ∆∆=41……………………………………………………………………（2分）∵CBF ABC S CFS AC∆∆= ∵31=AC AF ∴32=AC CF ∴CFB ABC S S ∆∆=23………………………………（2分）∴612341==∆∆∆∆CFB CFBABCAFG S S S S ……………………………………………………………（2分）解答： 解：（1）令y=0，即y=x 2﹣（b+1）x+=0， 解得：x=1或b ，∵b 是实数且b ＞2，点A 位于点B 的左侧， ∴点B 的坐标为（b ，0）， 令x=0， 解得：y=，∴点C 的坐标为（0，）， 故答案为：（b ，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形．设点P 的坐标为（x ，y ），连接OP ． 则S 四边形POCB =S △PCO +S △POB =••x+•b•y=2b ， ∴x+4y=16．过P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ， ∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°． ∴四边形PEOD 是矩形． ∴∠EPO=90°． ∴∠EPC=∠DPB ．∴△PEC ≌△PDB ，∴PE=PD ，即x=y ．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，解得b=＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2，∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC=90°时，△QCO∽△QOA，∴=，即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB，∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．25．（1）证明：∵AB =AC ，AG ⊥BC∴BG GC =，BAG CAG ∠=∠∵90ABM ∠=o∴90BAD BDA ∠+∠=o∵90GBD BDA ∠+∠=o∴BAD DBG ∠=∠∵BAG CAG ∠=∠∴CAG DBG ∠=∠∵EF ∥AD∴90AGC BCE ∠=∠=o∴ △BCE ∽△AGC（2）①∵AN ∥BM ，EF ∥AD∴四边形AFED 是平行四边形∴5AF DE ==∵EF ∥AD ，BG GC =∴5BD DE ==，12DG CE = 在Rt △ABD 中，5BD =，AD =325 ∴53cos 2553BD BDA DA ∠=== 在Rt △BDG 中，3cos 535DG BD BDG =∠=⨯=g∴6CE =，4BG GC == ∴1(6)41222ACEP x x =+⨯=+四边形S即122(0)y x x =+> ②∵AG ⊥BC ，BG GC =∴BP CP =∴当P 运动到点D 时，B E BP PE +、P 、三点共线时，最小， 此时△CPE 的周长CP PE CE =++最小 ∴253x AD == ∴50861221233y x =+=+=。