结构动力学试题
2016年4月
重庆交通大学结构工程硕士研究生考试
1.试述结构动力问题和静力问题的主要区别（10分）
答：结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：
（1）动力问题具有随时间而变化的性质；
（2）数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；
（3）惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分；
（4）引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；
（5）需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼特性分布的影响。
2.什么是结构动力系统的阻尼？一般结构系统的阻尼有何特性？在结构分析中
阻尼问题的处理方法有哪些？（20分）
答：（1）结构在震动过程中的能量耗散作用称为阻尼；
（2）阻尼的特性：a、阻尼耗能与质量（反映附属部分大小）和刚度（反映位移大小）有关。
b、难以采用精确的理论分析方法；
（3）对于多自由度体系：在结构动力分析中，通常从系统响应这个角度来考虑阻尼，而且能量的损耗是由外界激励来平衡的。
一个振动系统可能存在多种不同类型的阻尼，一般来说，要用数学的方法来精确描述阻尼目前是比较困难的。
因此，人们根据经验提出了一些简化模型，常用的阻尼模型有黏性阻尼和结构阻尼。
黏性阻尼系统：黏性阻尼的特点是阻尼力和运动速度成真封闭。
在用振型叠加法进行分析时，能否将联立的运动方程化为解耦的一系列单自由度运动方程，将取决于阻尼矩阵的性质，即结构的振型是否关于阻尼阵满足正交条件。
如果满足阻尼阵的正交条件，则采用振型叠加法分析时，就可以把多自由度体系的动力反应问题化为一系列单自由度问题求解；如果不满足阻尼阵的正交条件，则对位移向量用振型展开后，关于振型坐标的运动方程成为耦联的，必须联立求解，与解耦方程相比，增加了难度和计算量。
3.试述多自由度体系振型矩阵关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性的意义，并写出广义正交性的表达式且加以证明。
（20分）
答：（1）由振型关于质量、刚度正交性公式可知，i振型上的惯性力在j振型上作的虚功为0。
由此可知，既然每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，那么它的振动能量就不会转移到别的主振型上去。
换句话说，当一个体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。
这说明各个主振型都能单独出现，彼此线性无关。
这就是振型正交的物理意义。
一是可用于校核振型的正确性；二是在已知振型的条件下，可以通过折算质量与折算刚度计算对应的频率。
而更主要的是任一同阶向量均可用振型的线性组合来表示，在受迫振动分析中，利用振型的正交性，在阻尼矩阵正交的假设下可使运动方程解藕.
（2）振型正交性的证明在Clough书中应用的是Betti互易定理，就像D’Alember 原理一样考虑了惯性力，是运动学中功的互等定理。
实际振型正交性的证明可
以直接从运动方程的特征方程，即从导出自振频率和振型的公式中直接得到。
{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}n T m m n T m n
T m
n n T m M K M K φφωφφφφωφφ22== 两式相减得：
{}[]{}0)(22
=-n T m
n m M φφωω 当n m ωω≠时(即m ≠n)：
{}[]
{}{}[]{}{}[]
{}{}[]
{}n m K M K n m M n T m n T m m n T m n T m ≠==≠=，，002φφφφωφφφφ 对于两个频率m ω和n ω，及其振型[]n φ和[]m φ分别满足：
4.实际结构在振动中的能量损失机理很复杂，建立结构的振动微分方程时阻尼项中的阻尼系数必须要采用实验方法求得，试就你所知，例举3种以上求结构阻尼的实验方法，并说明其原理。
（25分）
答：（1）对数衰减率法
对数衰减率法的理论基础为有阻尼自由振动的解。
即通过对体系衰减曲线的 分析，可以有效的分辨出不同体系的阻尼比。
相邻振动峰值的比为：
()()())12exp()2sin()sin()()(sin )0(0cos 02)(1ξ
πξπϕωϕωωωξωωξωξωξωξω-==+++=+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=+--+∙-D n D n n T d T t d t D i i i i d d n d t e t Ae t Ae T t u t u u u t u u t u e t u 相邻振动峰值比为)12exp(21ξ
πξ-=+i i u u 对数衰减率n i u u n +=
1ln 1:δδ 阻尼比：1
ln 21+=i i u u n πξ 优点：所需要的一起和设备最少，可以用任何简便的方法来激振，所要测量
的仅为相对的位移幅值。
一般来说，随着自由振动振幅的减小，所得的阻尼
比也越小。
（2）共振放大法 确定粘滞阻尼比的这种方法是基于相对位移反映的稳态振幅测量。
这中反应
是由谐振荷载引起的，荷载幅值、激振频率为包含体系固有频率而跨越较宽 范围的离散值。
对应激振频率标绘出所测振幅。
根据动力放大系数()[]212220)2(1/-++==
ξββρρk D
当发生共振时： ξβ2/1)1(max ==≈D D max 2/1D =ξ
又0max max /ρρ=D max 02/ρρξ≈∴
优点：只需测量离散频率值下动力反应幅值的简单仪器，以及相当简单的动 力荷载装置。
（3）半功率带宽法（半功率点法）
动力放大系数R d 上振幅值等于2/1倍最大振幅的点所对应的两个频率点。
记：a ω和b ω分别等于半功率点对应的两个频率。
则阻尼比可由如下公式计算：
n a b ωωωξ2-=
a b a b ωωωωξ+-=
5.试就目前科技水平的发展，分析结构动力学今后的发展趋势。
（25分）
答：结构动力学，作为一门课程也可称作振动力学，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。
作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。
质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。
牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。
结构动力学今后的发展趋势：
（1）综合多学科的知识、方法和实验技术来建立系统的动力学方程，然后应用并发展新的动力学理论，对系统进行被动、主动或半主动控制设计，最后在计算机支持的虚拟现实等环境下形成系统设计方案论证和具体设计。
（2）发展随机结构动力学系统的识别与控制理论方法：发展多自由度非线性系统理论；发展线性与非线性系统对非高斯随机激励的响应预测方法；发展线性与非线性系统对非平稳随机激励的响应预测方法；发展随机结构动力学系统的识别与控制理论方法；将该理论应用于物理和生物领域，例如神经动力学
（3）更广泛的运用于对地震作用的分析构成中，更深入的研究非线性系统动力学，例如在非线性动力学中加入活力、分岔、混沌的研究。