L M P M ds L FNP F N ds FNP F N L
o EI
o EA
EA1
（曲杆）
（曲杆）
（拉杆）
§5-5 图乘法
1.图乘原理公式
——将积分转变为图形相乘
y
dω
形心
积分式: L MP M ds
o EI
等直杆EI常数: 1
EI
L
o M P M ds
A
C dx
MP图 B
EI
L o
M
P
M
ds
1 EI
yC
乘积“＋、－”规定—— 与 yC 同侧为＋，不同侧为－
其中:
— M P 图的面积 (教材用A表示)
yC — M P 图形心位置所对应的 M 图中的竖标
2.图乘注意事项
1）杆件是直杆，EI必须是常数；
2） yC必须取自直线图 （ M P 均M为直线时可互换）；
3）M 图为折线或 M P 在基线两侧时都需分段图乘；
MM P EI
dx
1 EI
Ay0
1 2 ql 2 1
ql 3
EI
3
8
l
2
24 EI
Cy
1 EI
(
2 l 1 ql 2 38
)
l 4
B
Cy
1 EI
(
2 3
l 2
1 8
ql 2 )
(85
4l )
2
5 ql4 () 384 EI
分段图乘
[例2] 计算悬臂梁在集中荷载作用下的C点的竖向位移 C 。
o EI
o GA
o EA
2. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形
l M P M ds
o EI
（2）桁架 —只有轴向变形
FNP F N L EA
（3）组合结构
l M P M ds FNP F N L
o EI
EA
（受弯构件）
（链杆）
（4）三铰拱 — 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,拉杆只有轴向变形。
2 3
q 2
m2
2m
——（二次抛物线）
y3
1m
1 EI
2 A1 y1 A2 y2 A3 y3
q EI
4 15
m4
结束
（第二版）作业:5—17, 19, 24
感谢下 载
1 ql 2
ql 3
A1 2 2 l 4
ql 3 A2 4
2 ql 2
ql 3
A3 3 8 l 12
2 y1 3 l
2 y2 3 l
l y3 2
MM P EI
ds
1 EI
A1 y1
A2 y2 A3 y3
3ql 4 8 EI
[例5] 试求图示刚架在水压力作用下C、D两点的相对水 平
4）图形的 或 y很C 难计算时，不宜用图乘法。
技巧：恰当运用叠加原理
3.常用图形的 面积及形心
注意： “顶点”切线与基线平行，
若不是则公式无效。
4. 图乘的分段
示例(1)： M为图折线
MP图
L
o MP Mds A1y1 A2 y2 A3 y3
M图
C1 C2
MP图
y1
M图
y2=0
示例(2)： M为图特殊折线
位移。设各杆解EI：为1常) 数作。荷载作用下的弯矩图
MP图
MA
1q 0
x
dx
1
x
1
0 q
x
1
x
dx
q 6
2) 在C、D两点加一对反 向的单位水平力，并
M图
作弯矩图
MP图
M图
A1
1 4
1m
q 6
m2
——（三次抛物线）
4
4
y1 5 1m 5 m
A2
q 6
m2
2m
——（矩形）
y2 1m
A3
考察MP和M图
MP ——曲线 M ——直线
由图可见： M x tg
0α xA xC
M yC
代入积分式有:
M图
B
B
Bx
A MP Mdx
A x tg MPdx B
d
MP图对Poy的xc面积矩
tg A x MPdx
B
tg A x d
yc
tg xc P
yc P
得图乘法公式： 1
L
o MP Mds A1y1 0
5. 图乘的叠加
MP图 M图
(1) 两个直线图形图乘的叠加法
L
o MP Mds A1y1 A2 y2
其中
y1
2 3
c
1 3
d
y2
2 3
d
1 3
c
6. 举例
1
C
A l 4
[例1] 试用图乘法计算简支梁在均布
荷载q作用下的B端转角
B，
移。
解:
B
以及AB梁中点的竖向位
第5章 结构位移计算与虚功－能量法
§5-1 §5-2 §5-3 §5-4 §5-5 §5-6 §5-9
刚体体系的虚功原理与位移计算 结构位移计算的一般公式 荷载作用下的位移计算 荷载作用下的位移计算举例 图乘法 温度变化时的位移计算 互等定理
1.荷载作用下的位移计算公式：
回顾
位移计算的一般公式：
力场（虚）
叠加图乘
1
CV
300 2
6
2 3
6
2
1
2 6 45 3 3
6660
10kN/m 20kN
B 300
C 6m
45 不是顶点
MP图
MA图
6
1
MC图
[例4] 计算图示刚架在分布荷载作用下的B点的水平位移 。
各杆截面为矩形bh，惯性矩相等。只考虑弯曲变形的
影响。
ql 2
ql
MP图
M图
ql
2
解: MP图面积可分为三块： A1、A2 、 A3lBiblioteka ll1 [
M d
0
F Qd
0
0 F N d ] F RkCk
(弯曲)
(剪切) (轴向) (已知支座移动)
仅考虑荷载作用，Ck 0
位移场（实）
由材料力学可知 ：
d M P ds
EI 代入得 ：
d k FQP ds
GA
d FNP ds
EA
1 l M P M ds l k FQP F Q ds l FNP F N ds
解: yc取自MP图
1 l l l2 A
222 8
C
MM P EI
dx
1 EI
Ayc
1 EI
l2 8
5 6
FP
l
5FPl 3 48 EI
[例3] 求A点的转角和C点的竖向位移。 （EI=1）
解：（1）求A点的转角
A
300 6 2
1 1 3
300
A 6m
（2）求C点的竖向位移