引入坐标变换
u(t ) Φq(t )
得到
M q q (t ) C q q (t ) K q q (t ) ΦT f (t ) 1 q(0) Φ 1u0 q(0) Φ u0 ,
其中
Mq Φ MΦ,
T
def
K q Φ KΦ,
T
def
H ( ) Z 1 ( ) ( K 2 M )1 , r
def
u H ( ) f
其中 H ( ) 正是系统的位移频响函数矩阵，它的元素 H ij ( ) 具有柔度系数的量纲， 反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励后第i个自由度的稳态位移响应幅值。
（2）频响函数矩阵的模态展开式 利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，对式动刚度矩阵左乘 和右乘
系统第j个自由度受单位脉冲后第r阶模态坐标的响应为
M r qr (t ) K r qr (t ) jr (t ), r 1, , N qr (0) 0, qr (0) 0
解出
q r (t )
得系统响应为
jr
M r r
sin r t
u(t ) φr qr
r
def
def Kr Cr , r , r 1,, N Mr 2 M r Kr
写作矩阵形式
q (t ) diag [U r (t )]q0 diag [Vr (t )]q0
ΦT
Φ得
1 r N
Φ T Z ( )Φ Φ T ( K 2 M )Φ diag [ K r M r 2 ]
从而有
Z ( ) Φ T diag [ K r M r 2 ]Φ 1
1 r N
求逆，得到频响函数矩阵的模态展开式
T N φr φr 1 T H ( ) Φ diag[ ]Φ , r 2 K r M r 2 1 r N K r M r r 1
0 0
t
t
当考虑进系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为
u(t ) U (t )u0 V (t )u0 h(t ) f ( )d
0
t
上述过程中对无阻尼系统用模态坐标解耦、分析、再线性组合的方法来分 析了系统的振动问题。该方法一般称作振型叠加法（或模态叠加法），是处 理线性振动问题的通用工具。
H ij ( )
r 1
N
ir jr
K r M r
2
, r
圆板的第７阶模态
圆顶的第５阶模态
方盒的第１８阶模态
4．3 比例阻尼系统的振动
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t ) u(0) u0 u(0) u0 ,
u(t ) r φr sin(r t r ) φr (ar cos r t br sin r t )
r 1 r 1 N N
自由振动时： 模态坐标变换 得到：
Mu(t ) Ku(t ) 0 u(0) u0 u(0) u0
u Φq
其中 V ( t ) 是各自由度有单位初速度引起的自由振动。这里可以在各自由度上 依次作用单位脉冲引起的初速度列向量排成的矩阵恰好就是
M 1 ．
（2）任意激励下的响应
有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后的零状态响应为
u(t ) h(t ) f ( )d h( ) f (t )d
4．1 无阻尼自由振动
Mu(t ) Ku(t ) 0 u(0) u0 , u(0) u0
特性： 质量矩阵 1）反映系统的动能
T
1 T u Mu 0 2
1 T u Mu 0 2
2）正定 但也有例外：存在纯静态模态
u ，使
（针对两种情况：当采用集中质量矩阵时和当离散系统中设有无质量点的自由度时）
r 1 r 1
N
N
φr jr M r r
sin r t
注意这是单位脉冲响应矩阵的第j列，故单位脉冲响应矩阵为
T φr φr h(t ) sin r t M r r r 1 N
这正是单位脉冲响应矩阵的模态展开式。 此外也可推出
sin r t T sin r t 1 1 T h(t ) Φ diag Φ Φ diag Φ Φ diag Φ 1 r N M r r 1 r N r 1 r N M r 1 V (t ) M
H 2
（前乘特征向量的共轭转置）
j
2
φ j Kφ j φ j Mφ j
H
H
0
u φei t
化为
可知 2 , j
2 2 φ j 都是实数，取
( 2 M K)φ 0
（广义特征值问题）
（1）当质量矩阵式正定、刚度矩阵半正定时，可以找到非零的 φ0 ，满足：
频域分析
（1）动刚度矩阵和频响函数矩阵 取特解 得到 考察受正弦激励的系统
Mu(t ) Ku(t ) f sin t
u(t ) u sin t
Z ( )u ( K 2 M )u f
式中
Z ( ) ( K 2 M )
def
称作系统的动刚度矩阵 从而
Cq ΦT CΦ
def
阻尼矩阵可以对角化时，称为比例阻尼矩阵．
阻尼模型 Rayleigh 阻尼 Cauchy阻尼
C M K
C M r (M 1K ) r
r 0
n
可使阻尼阵对角化的充分条件是正定矩阵 M , K 和 C
满足下述三式之一
MK 1C CK 1 M CM 1 K KM 1C
3）对称 刚度矩阵 1）反映系统的势能
U
1 T u Ku 0 2
2）半正定 存在刚体模态，此时弹性势能为零 3）对称
齐次方程的解：令
u φe t
得到
(2 M K)φ 0
φj
讨论特征值和特征向量的性质： j , 1.满足 则
ห้องสมุดไป่ตู้
( j M K)φ j 0
2
φ j ( j M K)φ j 0
Φ{diag [cos r t ]a diag [sin
1 r N
1 r N
r
t ]b}
其中
a [a1 aN ] ,
T def
b [b1 bN ]T
def
对于给定的初始条件
u0
和
u0
，可得到
u0 Φa ,
解出参数向量
u0 Φ diag[ r ]b
qr (t ) U r (t )q0 r Vr (t )q0 r , r 1,, N
其中
def r U r (t ) e rr t (cos 1 r2 r t sin 1 r2 r t ) 2 1 r r r t def V (t ) e sin 1 r2 r t , r 1,, N r r 1 r2
MC 1 K KC 1 M
自由振动
T M r qr (t ) Cr qr (t ) K r qr (t ) φr f (t ), r 1, , N qr (0) q0 r , qr (0) q0 r
解耦后得到： M r qr (t ) Cr qr (t ) K r qr (t ) 0, r 1, , N qr (0) q0 r , qr (0) q0 r 得到 N 个独立模态坐标下的运动
其中
U (t ) Φ diag [cos r t ]Φ , V (t ) Φ diag
1
def
def
1 r N
1 r N
[sin r t / r ]Φ 1
代表各自由度分别具有单位初始位移和单位初始速度引起的系统自由振动。
4．2 无阻尼系统的受迫振动
Mu(t ) Ku(t ) f (t ) u(0) u0 u(0) u0
1 r N
a Φ 1u0 ,
系统的自由振动可以写为
b diag[1/ ]Φ 1u 0 r
1 r N
u(t ) Φ diag [cos r t ]Φ 1u0 Φ diag [sin r t / r ]Φ1u0
1 r N
1 r N
U (t )u0 V (t )u0
频响函数矩阵的元素为
H ij ( )
r 1
N
ir jr
K r M r 2
, r
模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的下述关系：
T φr φr H ( ) , K r M r 2
r
系统在该频带内呈现单自由度系统的振动性态。
时域分析
M q q(t ) K q q(t ) 0
M r qr (t ) Kr qr (t ) 0, r 1,, N
解为：
qr (t ) ar cos r t br sin r t , r 1,, N
a1 cos 1t b1 sin 1t u(t ) Φq (t ) Φ aN cos N t bN sin N t
T
φ j (l M K)φl 0 φl Kφ j K j jl
T
T
（模态质量和模态刚度）
归一化
φ j φ j / φ j Mφ j
得到
Φ MΦ I
T
Φ KΦ Ω
T