第1章 二次函数
1．4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决面积的最值问题
浙教版·九年级全册
1．(4分)已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( B )
A．25 cm2
B．50 cm2
C．100 cm2
D．不确定
2．(4分)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积业题T4改编)某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的两面靠现有墙(墙足够 长)．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m，设每间饲养室的宽为x(m)，占地面积为 y(m2)． (1)如图①，当每间饲养室的宽x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图②，现要求每间饲养室在图中所示位置留2 m宽的门， 且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要每间饲养室的宽比(1)中的宽多1 m就行了．”请你通 过计算，判断小敏的说法是否正确．
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∵5 3＞25 3，故 S 有最大值为 5 3. 9
第3课时 用函数的观点看一元二次方程
1．(5分)抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是( A )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
2．(5分)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是( A )
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即△POQ 是等腰直角三角形．把△POQ 沿 PQ 翻折后，可得到四边形 OPCQ 是正方形，∴点 C
的坐标是(3，3)．∵A(12，0)，B(0，6)，∴直线 AB 的表达式为 y＝－1x＋6，当 x＝3 时， 2
y＝－1x＋6＝9≠3，∴点 C 不落在直线 AB 上．
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【拓展创新】
14．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点E在CB边上以每秒1个单位的速
5.(6分)(2017·新疆)如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时 出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动．在运动 过程中，当运动时间为___3___s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是___1_8__cm2.
＝∠A＝30°，∴AB＝10，AC＝5 3.∵EC＝t，∴ED＝FD＝2t，CD＝ 3t，∴AD＝AC－CD＝5 3
－ 3t.∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF＝60°，∴∠ADF＝90°，∴AF＝4t，AD＝2 3t，
∴5 3－ 3t＝2 3t，解得 t＝5. 3
(2)当 0＜t≤5时，如图①.S＝1·2t· 3·2t＝ 3t2，∴当 t＝5时有最大值25 3；当5＜
A．62 m2
B．63 m2
C．64 m2
D．65 m2
第2小题
第3小题
3．(4分)(教材P24例1变式题)用长为8 m的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面
积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( C )
A.64 m2
25
B. 4 m2
3
C. 8 m2
3
D．4 m2
4．(4分)(教材P25作业题T3变式题)将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长 各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__1_2_._5__cm2.
解：(1)设与墙平行的一边长为 x m，则鸡舍面积 S＝22－x·x＝－1(x－11)2＋121.由
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题意知 0＜x≤6，∴当 x＝6 时，S 最大＝48 m2.∴按爸爸的方案围成的鸡舍面积最大是 48 m2. (2)设有墙的一面再加 a m 长的篱笆，则矩形与墙平行的一边长(6＋a) m，则鸡舍面积 S＝
点 M，BN⊥x 轴于点 N，则观察图象得，方程 x2＋x＝1.5 的根 x1≈－1.8，x2≈0.8(允许有误 差)．
(3)平移方法：将原函数图象向上平移5个单位，再向左平移1个单位，或将原函数图象
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向左平移1个单位，再向上平移5个单位．平移后二次函数图象的函数表达式为 y＝(x＋1)2
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＋1 或 y＝x2＋2x＋2.
第9题图
第10题图
10．(6分)如图所示，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形， 则当AC＝__ 4__时，三个正方形的面积之和最小．
11.(6分)(安顺中考改编)某校校园内有一个大正方形花坛，如图①所示，它由四个边长为3 m的小正 方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图②所示，DG＝1 m，AE＝ AF，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积的最小值为__3_0_._5__m2.
解：(1)∵OA＝12 cm，OB＝6 cm，由题意，得 BQ＝t cm，OP＝t cm，∴OQ＝(6－t)cm，
∴y＝1·OP·OQ＝1t(6－t)＝－1t2＋3t(0≤t≤6)．
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(2)∵y＝－1t2＋3t＝－1(t－3)2＋9，∴当 y 有最大值时，t＝3，∴OQ＝3 cm，OP＝3 cm，
解：(1)当每间饲养室的宽为 x(m)，则长为50－2x＝(25－x)(m)，则 y＝2x(25－x)＝－ 2
2x2＋50x＝－2(x－25)2＋625，∴当 x＝12.5 时，y 取得最大值，即每间饲养室的宽 x 为 12.5 22
m 时，占地面积 y 最大．
(2)∵y＝2x·50－2（x－2）＝－2(x－27)2＋729，∴当 x＝13.5 m 时，占地面积 y 最
9．(6分)已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次
方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( B )
A．x1＝1，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0
D．x1＝1，x2＝3
10．(6分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②
度从点C向点B运动，运动时间为t(s)，过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边
△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S.
(1)当点F恰好落在AB边上时，求t的值；
(2)当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
解：(1)如图①，∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，DE∥AB，∴∠CDE
12.(10分)用22 m长的篱笆和6 m长的围墙围成一个矩形鸡舍． 爸爸的方案：一面是墙，另外三面是篱笆．小明的方案：把有墙的一面用篱笆加长作为一边，另外三 面也是篱笆． (1)求按爸爸的方案围成的鸡舍面积最大是多少？ (2)按小明的方案，要使围成的鸡舍面积最大，求有墙的一面应该再加几米长的篱笆？
A．4位
B．3位
C．2位
D．1位
5．(5分)已知方程2x2＋bx＋c＝0的两根是 5 ，－1，则二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交
点间的距离为__7__．
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6．(5分)(2016·瑞安)若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数， 则c＝_5_(_答__案__不__唯__一__)_．(只要求写出一个)
察图象，写出方程x2＋x＝1.5的根(精确到0.1)；
(3)如图，P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上．请写出一种适当的平移方法，使平移后二次函
数图象的顶点落在P点，并求出平移后二次函数图象的函数表达式．
解：(1)y＝x2＋x＝(x＋1)2－1，∴顶点是(－1，－1)．
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(2)描点如图：作直线 y＝1.5，交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，B 两点作 AM⊥x 轴于
2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是( C)
A．①③
B．只有②
C．②④
D．③④
11. (6分)在平面直角坐标系中，点M是直线y＝3与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y＝ 1 x2＋bx＋
c的顶点，则方程 1 x2＋bx＋c＝2的解的个数是_0_或__1_或__2_
5
解：(1)GH＝2x(m)． 3
(2)∵围栏总长为 80 m，∴2x＋2x＋2CD＝80，∴CD＝(40－4x)(m)，∴y＝x(40－4x)＝
3
3
3
－4x2＋40x(15≤x<30)． 3
(3)∵y＝－4x2＋40x＝－4(x－15)2＋300，又∵15≤x＜30，∴当
3
3
x＝15
时，y
最大＝300.
3
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t＜5 时，如图②.∵AD＝AC－CD＝5 3－ 3t，∴DG＝5－t.∵ED＝DF＝2t，∴FG＝2t－(5－
t)＝3t－5.∵ED∥AB，∴∠FHG＝∠FGH＝∠EDF＝60°，∴△GFH 是等边三角形，∴S＝
1·2t· 3·2t－1(3t－5)· 3·(3t－5)＝5 3(t－3)2＋5 3，∴t＝3 时，S 有最大值 5 3.
9．(6分)如图，用长为12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃，围出的苗圃是五边形ABCDE， AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2.则S的最大值为( B )
A．12 3 m2 B．12 m2 C．24 m2 D．24 3 m2
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大．∵13.5－12.5＝1(m)，∴小敏的说法正确．
8．(12分)(2016·慈溪)某家禽养殖场用总长为80 m的围栏靠墙(墙长为20 m)围成如图所示的三块面 积相等的矩形区域，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)请直接写出GH的长；(用含x的代数式表示) (2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？