中学数学教学中的向量(续3)齐民友(武汉大学数学与统计学院　430072)413　关于立体几何的教学立体几何的教学是一个困难问题,许多人都认为,学立体几何可以培养“空间想像力”.其实,什么是空间想象力说来也玄,下面举一个例,在近年高考与各种“辅导材料”中,这种“题型”的内容很多.下面可算是最简单的了.设有一个立方体,边长为1,过O ′,A ,C 三点作一平面,联结OB ′.证明它与此平面垂直,设OB ′与此平面交于P 点,求OP 之长.把图画出来,差一点的学生就眼花缭乱了,似乎OB ′C ′是一条直线,其实又不是.哪一条直线被掩盖住了,我画的图可能是错的.如果是画对了,又恰好把有用的东西遮盖起来了.图19　一个简单的立体几何题如果换一个想法:立方体12条棱,8个顶点中的5个还有6个面,都是没有用的,真正有用的只有下图(其实三条坐标轴也只是辅助性的).学生在这里的问题与其说是缺少空间想象力,不如说是缺少从纷繁的图形中把有用的要素提取出来的能力.而从上图看出真正有用的只是下图.这又不只是想象力问题,而是需要较高的数学素养才行.因此,我们的任务是如何帮助学生走一条比较平易的道路.我认为,数形结合(现在是代数化)是一个有效方法.看到题中讲的立方体,就自然想到下图的直角坐标系,以及有关的坐标.我们需要的全部信息就全在其中了,其它都可以置之不理.这就是下图的来源.于是就会问,经过这三点的平面方程是什么等等.下面的问题就只是最简单的代数计算了.图上看不清的全部可以算清,这就是热尔梅那句话的意义.读者会问,讲平面的方程是否超过课标?本来课标中已规定要讲空间直角坐标,由此再到平面的方程也就只是一句话的事.值得注意的是,哪怕只是一句话,怎样说才好,我以为最好不要只是提出定义等等.因为提出一个定义就会带来一串定义,于是就有了多少个“知识点”,麻烦就多了.现在我们提出一个问题:在研究空间直线与平面时,怎样去刻画它们?从数学上看有两个办法,一是问它们自身包含了什么样的向量.以直线为例,必是先有一个向量v ,而{λv }(λ是实数)就是一条直线(图上的虚线).但它一定通过原点.我们把它平移一下,使O 点移到x 0,这就得到了通过x 0而方向为v 的直线l.如果用x 表示l 上的任一点(即其位置向量),就得l 的表示法:x =x 0+λv(28)图20　怎样用向量表示直线和平面不论是平面直线与空间直线都可以这样写出来.我们不妨称(28)是直线(平面的或空间的)的方程.而且依我之见,完全不必再给它加一个诸如向量方程或参数方程的名称.平面也是一样,先有两个不共线(这三个字可是少不得)的向量v1,v2,按前面对于向量的几何描述的规定它们“张”起了一个经过原点的平面{λv1+μv2},(λ,μ是实数)即图上的虚线方框,再把O平移到x0就得到经过x0的方向为v1,v2的平面Π,其方程为x=x0+λv1+μv2(29)言多必失,开场白到此为止.我以为我们在教学中的一个毛病就是讲得太多.不是语言问题,而是说了一些不必说的话.好比今天社区开会,有人敲门进来,主持人说:“张总您好,请这边坐.”又来一位客人,于是:“王大爷请这边坐”.人坐定了主持人宣布开会:“近年养狗的人多了,昨天张总的小狗咬伤了王大爷的小孙女,今天我们开会立一个养狗的规矩”.至于张总的年收入多少,在哪里上班,王大爷年龄多少,曾经当过模范等等,如果到最后吵到法院上去了,由法官去问好了,社区开会讲那么多干什么?教书也是一样,该法官讲的事,您不要讲.我不完全了解中学教学的情况但据我在高校教书的经验看来,讲得太多正是通病.以为不如此就不够严格,不够系统,结果反而加重了学生的负担,烦琐不堪,效果不好.暂时把这些议论放在一边,下面讲刻画平面与直线的另一个办法:就是用该平面或直线包含它的空间(即R3)的关系来刻画它们.以平面为例,包含平面的空间就是图上画的x,y,z空间.要决定平面Π,一是要指定空间中的一点x.要决定平面Π通过此点.再则要求平面Π有一个指定的法线向量n= (n1,n2,n3).什么是法线向量?Π是由虚线方框所代表的平面{λv1+μv2}经平移得来的.法线向量就是与构成Π的向量(也就是所有的λv1+μv2)都垂直的向量.不过我们要注意,如果n是法线向量,则对任意实数c≠0,c n也是法线向量,零向量当然也与一切λv1+μv2垂直,但是这样说没有意思,所以上面规定c≠0.还要注意,对于研究平面和直线,重要的是作为一个向量的法线方向,而不是作为一条直线的法线.因为所有各点的法线方向都相同.但在研究曲线曲面时则不同了.通常的立体几何教材中有某一直线n(我们用一个向量n来表示直线,读者当然会领会到其原因)与某一平面Π相垂直的判定定理与性质定理之分.当我们用向量来讨论垂直性时,这种分别是不重要的.因为平面Π是由过原点的所有向量张成的虚线方框平移而得的.后来的平移不影响这些向量的方向.所以,谈n与构成Π的所有向量垂直,也就是讨论n与所有{λv1+μv2}垂直.其充分必要条件就是n·v1=0,n·v2=0.但是v1,v2构成基底(即不共线)这一条件必不可少,否则{λv1+μv2}不能表示构成Π的所有向量.但是平面不只有一组基底,如果n换用另一组基底{v′1, v′2},则n与平面上一切向量垂直的充分必要条件又可以表示为n·v′1=0,n·v′2=0.由平面向量的基本定理,v′1=αv1+βv2,v′2=γv1+δv2,或者v1=α′v′1+β′v′2,v2=γ′v′1+δ′v′2.所以由n·v i=0,(i=1,2)必可得到n·v′i=0,(i=1,2).反之亦然.所以n与平面垂直的充分必要条件是对某一组基底{v1,v2}有n·v1=n·v2=0.在这里我们没有区别判定定理与性质定理,而可将以上所述归结为定义　若n与任意两个不共线的构成Π的向量垂直,则称n为Π之法线向量.这样说的好处一是突出了向量的线性结构;二是突出了垂直性.既然讲的是向量的数量积,则是本文第二部分讲的概念,而与“起点”无关.既不问法线是哪一点的法线,也不问Π上与法线垂直的直线通过什么样的点(通常教材都说与Π上的所有‘直线’垂直,但我们只说与一个向量垂直.法线向量是线性空间的概念,而下面我们会看到直线则只是A空间中的概念).现在用坐标来表示第二种刻画方法.设Π是由虚线方框中的“平面{λv1+μv2}”经平移到x0而成, n是Π的法线向量,则由定义n·(x-x0)=0(30)如果n,x0,x之分量坐标(或分量)是(A,B,C), (a,b,c),(x,y,z),则上式成为A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)=0或A x+By+Cz=D　A,B,C不同时为0(31)我们称(31)是平面Π的方程.至此,不必再多讲关于方程的事,例如什么(31)是“一般方程”而(29)是“参数方程”(参数方程何曾不一般?)之类.重要在于(29)与(31)表示了我们研究空间中的平面的两种不同方法.(31)向我们直接地提供了法线向量的信息:(A,B,C)就是法线向量.正因为如此,用任意非零常数c乘(31)的双方仍表示同一平面,因为(cA,cB,cC),(c≠0)与(A,B,C)同为法线向量,表示相同的方向.对于直线l也可以从包含它的空间的角度来考查.这时就看到平面直线与空间直线的区别.一方面,它们都可用(28)表示,区别并不在于其中的向量x,x0,v是平面向量还是空间向量,因为同一个向量既可看作是平面向量也可看作是空间向量.在讨论余弦定理时我们专门讨论过这一点.但是如果包含它的空间是平面或空间,则它与包含空间的关系情况不同了.在平面上看,与l垂直的方向(法线向量n的方向)只有一个.c n,c≠0所表示的方向与n 的方向相同.如果l用所谓“一般方程”A x+By= C(A,B不同时为0)表示,此方向就是(A,B),在l 上取一点(x0,y0)则A x0+By0=C与上式相减,则这个“一般方程”可写成A(x-x0)+B(y-y0)= n·(x-x0)=0.这正是对于直线l的(30)式,你愿意把它称为“一般方程”也可,其还可称为“海赛(Hessian)法式方程”那就还要向学生解释海赛是谁———可见多一个名词并没有好处,倒是可以由此找出l上的向量v=(v1,v2)来.因为n·v=Av1+ Bv2=0,所以不妨令v=(-B,A),它恰好标志了l 自身的方向,我们常讲的斜率就是tanθ=-AB,可见若B=0(即倾角θ=π2),斜率这个概念没有用了,倒是应用(-B,A)更“安全”.这当然更多是一个习惯问题,实质性的影响不大.但是对空间问题情况就复杂了.我们不妨把l 想象为z轴,那么,(x,y)平面上的所有向量(千万不要认为平面向量与空间向量有本质的区别!)都可以作为法线向量.需要注意的是:这些向量构成一个2维线性空间.重要的并不在于向量“本身”是平面的(2维的)还是空间的(3维的).向量是什么?第一部分明确地说:向量就是线性空间的元素,可以按一定规矩来加,来用实数去乘它.本身无所谓平面与空间之分,到我们考虑的那些向量所成的“集合”(即全体)构成一个线性空间后,我们可以问这个空间的维数.这时,平面或空间的区别才显出来了.可见维数对于向量“本身”,可以说是“身外之物”.对于空间直线来说,法线向量构成一个“平面”———所谓法平面.但是在空间中研究平面,例如在(29)中,重要的是在构成它的向量中要找出一个基底来.现在也一样,在众多的构成2维线性空间(法平面)的法向量中,要取出一个基底(n1,n2)来.对于n1和n2可以各自作一个平面,均通过(28)式中的x0,而且以n1和n2为其法线向量,这两个平面就是:A1(x-x0)+B1(y-y0)+C1(z-z0)=0,(A1,B1,C1)=n1A2(x-x0)+B2(y-y0)+C2(z-z0)=0,(A2,B2,C2)=n2(32) l就是这两个平面的交线.这个讲法是我们最熟悉的,但是有一个问题:同一条直线可以用不同的n1, n2来刻画其法平面,不同的两组平面可以决定同一直线l,那么,从(32)如何来确定两条直线是相同还是不同?这与(29)式用不同的v1,v2表示同一平面有同样的困难.当然应用线性代数课程中讲的秩的理论解决起来并不难,但对中学数学显然是过分了.这就使得我们在把向量方法用于直线与平面问题时需进一步考虑:几何方法与代数方法各占什么份量.在这以前,我们先把上面讲过的内容列表总结如下:3维空间中的直线与平面通过其上的向量刻画通过数量积刻画直线·x=x0+λv·作为向量方程是一个方程·作为分量的方程共三个方程·找到法平面的一个基底n1,n2构作(32),n1·(x-x0)=n2·(x-x0)=0.·必然产生基底变为n′1,n′2时(32)式如何改变的问题通过其上的向量刻画通过数量积刻画平面·找到构成相应线性空间的基底v1,v2得到(29)式:x=x0+λv1+μv2·如果把v1,v2换成另一个基底v′1,v′2(29)式如何改变·n(x-x0)=0或A x+By+Cz=D·用同常数c≠0去乘,得到同一平面·只需一个方程2维空间的情况简单得多,总之,这个表里显出明显的对偶性.从表面上看,左上右下两框比较简单.现在我们回到图19上的那个题目.首先要研究平面O′A C,为此我们按右下框的思路去找它的方程A x+By+Cz=D,要注意这里有点麻烦,因为不少师生会去找一个“题型”:已知三个定点(xi,y i,z i),i=1,2,3,如何求上述A,B, C,D?“题型”一说真是害人不浅,学生会把(x i,y i, z i)i=1,2,3代入以下方程:A x+By+Cz=D,得到含4个未知数(A,B,C,D)的3个一次方程,但这种未知数个数与方程个数不同的联立方程怎么办?当然线性代数里有办法,但是把中学数学引导到这类问题中,岂非自找苦吃?应用向量方法于立体几何问题时常需要较多线性代数知识.我以为应当避免过多地专注于代数,而把注意力放在对具体情况的分析上.例如从图19上看到x,y,z三个轴与图中平面处于对称地位,自然可以设想A,B,C相等.因此该平面或可写为x+y+z=D/A,再以一个点(1,0,0)试验,即知D/A=1,就给出了解答.于是平面O′A C之方程为x+y+z=1,而(1,1,1)是其法线向量.再按左上框去讨论直线OB′.当然应取x0=0, v则是向量OB′=(B′-O)=(1,1,1)所以OB′的方程是x=λ(1,1,1)即x=λ,y=λ,z=λ一方面立即可见OB′的方向即平面O′A C之法线方向,所以OB′⊥O′A C.再以上式代入平面方程即得交点P对应于λ=13.既然P点在线段OB′的13处,自然有|OP|=33.图21　三垂线定理再举一例,立体几何中常讲“三垂线定理”,后来可能感到难了一些就不讲了,现在的教材就只提一下,我“百度”了一下“三垂线定理”,发现有多个教案,都把它说得很玄.其实从图21一看,这些教案讲的无非是OP与l并不相交怎么办.但是从现在的理解看,互相垂直是只涉及方向的问题,本来就与起点无关.用综合几何的方法,就一定要考虑起点,而OP与l并不相交,就使得起点不好找了.但如果用向量方法,向量本来就只有方向与大小(大小还用不上),起点都“自动地”搬到线性空间的原点(不一定是平面Π的O点)去了.这里的问题完全消解.所以用v表示构成l的向量(又是左上框),由于OP=OA+A P,读者应该用熟了沙尔定理,不会为OP究竟是固定起点的有向线段还是代表其向量成分而犯愁了,用数量积的分配律OP·v=OA·v+A P·v=OA·v所以OP与l垂直的充要条件就是其投影与l垂直.这不就是三垂线定理吗?何必一定要列一个名目呢?所以用了向量方法以后,没有三垂线定理真是一点关系也没有,但不能没有数量积的分配律.再举一个2006年湖北省一道高考题为例:图22　一道高考题在棱长为1的正方体AB CD-A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.(1)试确定m,使得直线A P与平面B DD1B1所成角的正切值为32;(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对于任意的m,D1Q在平面A PD1上的射影垂直于A P,并证明你的结论.很自然地,我们会取坐标系如图,所谓A P与B DD1B1之交角θ即A P与此平面法线交角φ的余角,因此关键是找出这个法线向量.至于法线在哪一点生根并不重要.但为此又只需找出此平面的方程,其实不必作A x+By+Cz=D并以若干点的坐标代入,利用我们的几何直觉,把BDD1B1看成一扇门,AB CD看成地板,则BD就是门缝!与它垂直的例如AC(不必在图上画了)必与此门垂直.注意到A=(0,0,0),C=(1,1,0),P=(1,1,m),立即有AC=(1,1,0),A P=(1,1,m)因此cosφ=(AC·A P)/|AC|·|A P|=2/2(2+m2)=22+m2即sinθ=22+m2.这里我们又从图上看到θ,φ一定是锐角,所以在定根号符号时不发生歧义:cosθ=m2+m2,tanθ=2m,由题设,m=1/3.这个解法比标准答案以及综合几何方法好.因为代数运算代替了一切求作补助线等等,所以不易出错,关键就是要用平面的方程(没有写出来)直接得出法线向量.对学生要求一个几何直观:法线向量只有大小和方向,起点放在哪都一样.第二部分就是“三垂线定理”.我们不这么说,标准答案上也没有点明,实际上还是用数量积的分配律好.所以作D1Q的投影D1N.于是.D1Q·A P=D1N·A P+NQ·A P=D1N·A P.所以D1N⊥A P之充要条件即D1Q·A P=0把Q的坐标写出来Q:(x,x,1),x未定.于是问题全部解决.在立体几何教学中应该多用解析方法(包括向量方法)还是多用综合方法?本来没有一定之规.一般说来,把问题化为代数问题比较容易找到确定的解法,不会茫然不知所措,比较易教易学.但是终究直观性较差,运算麻烦了同样会感到茫然.综合几何方法比较难,但是确有几何特有的魅力,时有神来之笔,教师不说学生都能真正体会到数学的美.但是,从整个数学的发展来看,目前还是对向量方法的优美与潜力注意不够.本文的主旨也在此,读者也可看到,课标提出二者结合,灵活运用,是很正确的.但是,如何实现还等努力.本文开始时提了三个怪问题,前两个在正文中都已解释了.第三个,北京的北风加上海的东风———还没有解释.提出这个怪问题是因为向量(大小、方向)与起点的关系从现实生活看可以是平移也可以不是.如果是平移,则不但有起点而且有终点.风有起点:“微风起于青萍之末”.但是“万里长风”哪里是终点?风的问题其实是一个向量场(风场)问题:每点各有一个向量———各个地方各吹自己的风,这时似乎向量又有了起点———于是人们就想,就把这一点当作原点好了.所以,在讲向量时心理上总会感到向量有起点,而且就是问题中提到的点(北京或上海),这是有原因的.总之,我们就会把向量的起点(线性空间中的原点,即零向量)与物理空间的原点(具体的地址)混起来了.因此,准确一点说,现在我们有了两个线性空间(北京的风与上海的风).两个不同线性空间的向量怎么能相加?这个问题听起来怪,其实非常常见.如果有两个电荷,大小相等方向相反:+q和-q,放在非常接近的地方.例如有许多化合物的分子,如HCl(氯化氢,盐酸),形如一个小纺锤,一端荷正电另一端荷负电,但不会互相抵消,正负电荷哪怕位置相近到同在一个分子之内也不能相加.这种电荷系统称为偶极子.我们用的天线时常以偶极子为基础.总之,向量本身只有大小和方向,而起点要另作研究,这不但是为了得到一个无矛盾的数学理论,也是现实世界给我们的启发.向量的几何表述是起点在原点的有向线段,而这个原点是线性空间的原点而不是物理空间的某一个点.这不但是数学上而且是物理上合理的作法.这就是设定第三个怪论所想表述的思想.至于把向量看作平移,并由此得到A空间,则是点与向量关联的一种方式,而我们在中学几何教材中遇到的许多问题这样才能说清.(全文完)。