第4章动能和势能习题解答4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。

绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。

分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为l l k l k f ,321+=表示弹簧的伸长量，k 1为正，⑴研究当k 2＞0、k 2<0和k 2=0时弹簧的劲度df/dl 有何不同；⑵求出将弹簧由l 1拉长至l 2时弹簧对外界所做的功。

解：弹簧的劲度df/dl=k 1+3k 2l 2. k 2=0时，df/dl =k 1，与弹簧的伸长量 无关；当k 2>0时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k 2<0时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。

在以上三种情况中，劲度df/dl 与弹簧伸长量l 的关系如图所示。

))](([)()()(2122212222112141422412122121321321212121l l l l k k l l k l l k dll k ldl k dl l k l k A l l l l l l -++-=----=--=+-=⎰⎰⎰4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。

证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1变为r 2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=FFT F r r r r r r rT A A r r T r r F A r r T drTTdrdr FA =∴-=-=-==-==⎰⎰⎰),()()(2121211221214.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin α)mg ，∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α)mgv'.令N'= N, 即（0.04+sin α）mgv = (0.04-sin α)mgv'，可求得：v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式，可求得： sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。

解：以A 为原点建立图示坐标o-x ，木块由A 到B ，只有拉力T 做功：⎰⎰⎰+--===43)4()4(44022cos x dx x x T dx T dx F A θJx x x d x T 100)35(50|9)4(50|]9)4[(2]9)4[(]9)4[(40242/12250422/122=-⨯=+-=+-⨯-=+-+--=⎰- 设木块到达B 时的速度为v ，由动能定理：2021221mv mvA -=s m v m A v /88.2065.0/1002/222≈+⨯=+=，方向向右4.3.2 质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。

绳端作用以恒力F ,F=60N,木块在A 处有向上的速度v 0=2m/s,求木块被拉至B 时的速度。

解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy ，木块在由A 到B 的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是： A N = 0；A W = -mg(y B -y A )=-1.2×9.8×0.5= -5.88J ；F 大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。

JF y y d y y d y dyF dy F dy F A F F F y y y F 43.12)12(605.0)12(5.0|])5.0(5.0[2])5.0(5.0[])5.0(5.0[)5.0(])5.0(5.0[cos 5.002/12225.00222/12225.0022/12225.00)5.0(5.05.05.005.0022=-⨯=-=-+⨯-=-+-+-=--+-====⎰⎰⎰⎰⎰---+-θ由动能定理：221221AB F W N mvmv A A A -=++代入数据，求得 v B =3.86 m/s.4.3.3 质量为m 的物体与轻弹簧相连，最初m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v 0 向右运动，弹簧的劲度系数为k ，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l为ABx)11(22-+=mgv k kmgl μμ证明：质点m 由弹簧原长位置运动到最远位置l ，弹力F 和滑动摩擦力f 对质点做负功，导致质点动能由mv 02/2变为0。

根据动能定理：A F +A f =0 - mv 02/2 ……①其中，mgl A kl ldl k A f lF μ-=-=-=⎰,2210，代入①中，并整理，有：kl 2+2μmgl-m v 02=0. 这是一个关于l 的一元二次方程，其根为：kv m k g m g m l 24)2(222+±-=μμ，负根显然不合题意，舍去，所以，)11()(2220221-+=++-=gm v k kgm kkgm kmv g m l μμμμ4.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为m 的活塞将气体密封，气体膨胀前后的体积各为V 1,V 2，膨胀前的压强为p 1，活塞初速率为v 0. ⑴求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气体压强与体积满足pv=恒量. ⑵若气体压强与体积的关系为pv γ=恒量，γ为常量，活塞末速率又如何？解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为v ，在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg ，气体对活塞的压力N=pS （S 为气缸横截面），忽略重力所做的功（很小），对活塞应用动能定律：m A v v mv mvA N N /2,202021221+=∴-=⑴若pV=p 1V 1，1222121ln11111V V V VVV V V V N V p dV V p pdV pSdx A ====⎰⎰⎰⑵若pV γ=p 1V 1)(1111211112121γγγγγγ-----===⎰⎰V V V p dV VV p pdV A V V V V N4.3.5 o'坐标系与o 坐标系各对应轴平行，o'相对o 沿x 轴以v 0做匀速直线运动. 对于o 系质点动能定理为： 21212221mv mv x F -=∆，v 1,v 2沿x 轴，根据伽利略变换证明：对于o'系，动能定理也取这种形式。

证明：由伽利略变换：x=x'+v 0t , v=v'+v 0，Δx=Δx'+v 0Δt ① v 1=v 1'+v 0，v 2=v 2'+v 0 ②，将①②代入21212221mv mv x F -=∆中，有12212122210122121222120121202210)('')''('')'()'('v v v m mv mv v v v m mv mv v v m v v m tv F x F -+-=-+-=+-+=∆+∆ 据动量定理：)(12v v m p t F -=∆=∆所以， 21212221'''mv mv x F -=∆mS4.3.6 在质量分析器中（详见教材）,电量为e 的离子自离子源A 引出后，在加速管中受到电压为U 的电场加速.设偏转磁感应强度为B ,偏转半径为R.求证在D 漂移管中得到的离子的质量为m=eB 2R 2/2U.证明：正离子从离子源A 引出后，在加速管中受到电压为U 的电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即，mv 2/2-0=eU,∴v=(2eU/m)1/2正离子在半径为R 的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转，若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qvB=mv 2/R ,也就是，eB=mv/R ，将v=(2eU/m)1/2代入，并将方程两边平方，得：e 2B 2=2meU/R 2，∴m=eB 2R 2/2U .4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g 的圆柱体，圆柱体又套 在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向，框架质量为200g.自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F =20.0N 作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。

解：设绳长l ，圆柱质量m 1，框架质量m 2，建立图示坐标o-xy ；据题意，圆柱在o 点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v 1，方向与线l 垂直，框架的速度为v 2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v 2=v 1x ，v 1y =v 1x tg30º圆柱体m 1与框架m 2构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力W 1=m 1g 和拉力F 做功：其中，A W 1= - m 1gl(1-cos30º)= - 0.13J, A F = F l sin30º= 2J ,由质点系动能定理，有21221212112122221211211)(x y x F W v m v v m v m v m A A ++=+=+)/()(2])301([21341212212121m m A A v m tg m v F W x x ++=∴+︒+=代入数据,v 1x 2=4.3, v 1y 2=(v 1x tg30º)2=1.44∴v 1=(v 1x 2+v 1y 2)1/2=2.4m/s.4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k 1,k 2，它们自由伸展的长度相差l ，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x ≤l 和x<0时弹性势能的表达式。