专题26 平面向量（知识梳理）一、向量的概念及表示1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。

(1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

(2)向量的表示方法：①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。

用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。

(3)向量与有向线段的区别和联系：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。

向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。

2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。

3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。

4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。

与非零向量共线的单位向量0a =。

5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量；(2)规定与任一向量平行。

6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。

7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。

(1)相等向量：=⇔模相等，方向相同；(2)相反向量：b a -=⇔模相等，方向相反。

二、向量的加法1、三角形法则图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。

图示3、多边形法则原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。

图示运算律交换律a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。

(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)a a =--)(；(3)0)()(=+-=-+a a a a ；(4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。

2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知：(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；(2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。

四、数乘向量1、数乘向量的定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作aλ。

(1)长度：||||||aa⋅λ=λ，(2)方向：aλ(0≠a)的方向：当0>λ时，与a同方向；当0<λ时，与a反方向。

特别地，当0=λ或0=a时，00=⋅a或00=⋅λ，aλ中的实数λ叫做向量a的系数。

(3)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。

(4)运算律：设λ、R∈μ，则①aaaμ+λ=μ+λ)(，②aa)()(λμ=μλ；③babaλ+λ=+λ)(。

2、向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。

3、两个非零向量a、b的夹角：已知非零向量a与b，记aOA=、bOB=，则θ=∠AOB(π≤θ≤0)叫做a与b的夹角。

4、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量θ⋅⋅cos||||ba叫a与b的数量积，记作ba⋅，即有θ⋅⋅=⋅cos||||baba(π≤θ≤0)。

规定0与任何向量的数量积为0。

5、向量b在a方向上的投影：设θ为a、b的夹角，则θ⋅cos||b为b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，不是向量。

当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当 0=θ时投影为||b；当180=θ时投影为||b-。

6、向量的数量积的几何意义：数量积ba⋅等于a的长度与b在a方向上投影θ⋅cos||b的乘积。

7、向量的运算：运算向量形式坐标形式：)(11yxa，=、)(22yxb，=加法求两个向量和的运算平行四边形法则：起点相同，对角线为向量和，记：ACADAB=+。

三角形加法法则：首尾相连，记：ACBCAB=+。

)(2121yyxxba++=+，减法求a与b的相反向量b-的和的运算叫做a与b的差三角形减法法则：)(2121yyxxba--=-，起点相同的两个向量的差，箭头从后指向前，记：BA OB OA =- 终点相同的两个向量的差，箭头从前指向后，记： BC CA BA=-运算律：①交换律：ab b a +=+；②结合律：)()(c b a c b a ++=++；③a a a =+=+00+0。

数乘 实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a λ，a λ是一个向量，||||||a a ⋅λ=λ。

方向：0>λ时，a λ与a 同向；0<λ时，a λ与a 反向；0=λ时，0=λa 。

)(11y x a λλ=λ，运算律：①a b b a ⋅=⋅；②a a μλμ=μλ)()(，)()()(b a b a b a λ=⋅λ=λ；③a a a μ+λ=μ+λ)(，b a b a λ+λ=+λ)(，c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(。

数量积><⋅⋅=⋅b a b a b a ，cos |||| 2121y y x x b a ⋅+⋅=⋅ 1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2、平面向量的坐标表示：(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使j y i x a +=，把有序数对)(y x ，叫做向量a 的坐标，记作)(y x a ，=，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。

(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则)(1212y y x x AB --=，，212212)()(||y y x x AB -+-=。

(3)若O 是坐标原点，设j y i x OA +=，则向量OA 的坐标)(y x ，就是终点A 的坐标，即若)(y x OA ，=，则A 点坐标为)(y x ，，反之亦成立。

3、线段的定比分点及λ：设1P 、2P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于1P 、2P 的任一点，则一定存在实数λ，使21PP P P λ=，λ叫做点P 分21P P 所成的比。

有三种情况：0>λ(内分) (外分)0<λ(1-<λ) (外分) 0<λ(01<λ<-)(1)定比分点坐标公式：若点)(111y x P ，，)(222y x P ，，λ为实数，且21PP P λ=，则点P 坐标为)11(2121λ+λ+λ+λ+y y x x ，，我们称λ为点P 分21P P 所成的比。

(2)点P 的位置与λ的范围的关系：①当0>λ时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点；②当0<λ(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点。

(3)若P 分有向线段21P P 所成的比为λ，点M 为平面内的任一点，则λ+λ+=121MP MP ； 特别地P 为21P P 的中点⇔221MP +=。

4、向量的重要定理、公式、结论：(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用。

(2)三角形不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-。

(3)重要结论：若||||-=+，则⊥。

(4)向量的模：22||y x +=； 非零向量与b 的夹角：222221212121||||,cos y x y x y y x x b a b a b a +⨯++=⨯>=<。

(5)非零向量)(11y x ，=、)(22y x ，=共线或垂直的坐标表示： ①向量共线：b a //⇔b a λ=⇔1221y x y x =； ②向量垂直：b a ⊥⇔0=⋅⇔02121=⋅+⋅y y x x 。

特别地||||()||||(AC AB AC AB ⊥。

(6)两个向量的数量积的性质：设、b 、c 为两个非零向量，e 是与同向的单位向量。

①θ=⋅=⋅cos ||a a e e a ； ②当与b 同向时，||||⋅=⋅；当与b 反向时，||||⋅-=⋅。

特别的22||a a a a =⋅=或a =|| ③2222||||))((-=-=-+； 222222||2||2||)(b b a a b b a a b a b a +⋅+=+⋅+=+=+；222222||2||2||)(b b a a b b a a b a b a +⋅-=+⋅-=-=-。

④||||||⋅≤⋅。

(7)向量共线定理和向量基本定理①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得λ=。

变形形式：已知直线l 上三点A 、B 、P ，O 为直线l 外任一点，有且只有一个实数λ，使得：⋅λ+⋅λ-=)1(。

②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使2211e e a λ+λ=。

(8)线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线l 上三点1P 、2P 、P ，且满足P P PP 21λ=(1-≠λ)，在直线l 外任取一点O ，设a OP =1，b OP =2，可得b a b a OP λ+λ+λ+=λ+λ+=1111。

重要结论：若直线l 上三点1P 、2P 、P ，O 为直线l 外任一点，则21OP OP OP μ+λ=⇔1=μ+λ。