t
1 2
(s
x
s y ) sin
2
t xy
cos 2
令:dt 0 d 1
tan21
s
x s 2t xy
y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别
为最大切应力和最小切应力所在平面。
ttmmainx
± （sx
sy
2
）2 tx2y
tan
2 0
s
2t xy x s
y
1
0
p
4
, 即极值切应力所在平面 与主平面成 450
t xy sin 2
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
n
s
t xy
dA
s dA t xy(dAcos )sin s x (dAcos ) cos t yx
t
t yx(dAsin ) cos s y (dAsin)sin 0
sy
Ft 0
t dA t xy(dAcos ) cos s x (dAcos )sin t yx(dAsin )sin s y (dAsin ) cos 0
一、引言
§7–１ 应力状态的概念
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭实验现象是怎样的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢 扭转
铸铁扭转 P
低碳钢拉伸试验
铸铁拉伸试验
低碳钢扭转试验
铸铁 扭 转 试 验
2、复杂应力状态怎样建立强度条件？
M
ss
s
s t
Fs
t t
简单应力状态的强度条件：
s max [s ]; t max [t ]
N = stl
s =
pD 2t
s
s
s 二向应力状态
s
三向压缩
§7–2 平面应力状态分析——解析法
y
sy
sy
txy sx
等价 y
sx
txy
x z
Ox
1.斜截面上的应力
sx α
y
t yx t xy
x
sy
sx αt
n
s
t xy
dA
t yx
t
sy
Fn 0 Ft 0
列平衡方程
Fn 0
sx αt
s z b、平行平面上应力相等。
t zx t zy
z 0 x
sy
y
t t t yx
t
t xy s x
xz
t xz t xy
t yz s x
zx
t zy
t yz
sy
yx
sz
轴向拉伸
σ
σ
σ
σ
s FN
A
扭转
τ τ
τ τ
t T
Ip
弯曲变形
τ
σ
τσ
s MZy
Iz
σ
τσ
t
Fs
S
* z
IZb
l
例
S
FP
2.正负号规则
s
1 2
(s
x
s y) ຫໍສະໝຸດ 1 2(sx
s y ) cos 2
t xy
sin
2
y x s x α
t yx t xy
t
1 2
(s
x
s y ) sin
2
t xy
cos 2
正应力：拉应力为正；
sy
压应力为负。 切应力：绕微元顺时针方向
α s x
ta
n
sa
t xy
x
t t yx sy
转动为正；反之为负。
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 s x 60MPa， t xy 30MPa, s y 40MPa, 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
sy t xy
sx
解：（1） 斜面上的应力
sy t xy
s
sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2
a
l
SF
a
Fa T
M
Fl
S平面 y
1
T
4
z
x
2
1
τ
T Wp
3 Mz
σ
Mz Wz
t
2t
3
τ
T Wp
σ
Mz Wz
四、主单元体、主平面、主应力：
sy
y
主单元体
sx
各平面上切应力均为零的单元体。
sz
z
s2
主平面
切应力为零的平面。 x
主应力
主平面上的正应力。
s1
s3
sy
y
主应力排列规定：
sz
z
s2
sx
强度条件如何建立？
P
M 弯扭组合变形 强度条件如何建立？
F
F
s
s max
F A
s
t
s s cos2
同一点在斜截面上时：
t
s sin 2
2
表明：同一点在不同方位截面上，它的应
力是各不相同的，此即应力的面的概念。
材料力学
Mz Fs
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
txz
sx
sx
A
三向（空间）应力状态
s3
s1
s2
材料力学
二向（平面）应力状态
材料力学
y
sx
x
y
t yx t xy
x
单向应力状态
纯剪应力状态
材料力学
三
二
向
向
应
应
力 状
特例
力 状
态
态
单向应力状态 特例 纯剪应力状态
材料力学
二向和三向应力状态实例
sA = sp Dt=P
s
=
pD 4t
s =?
2N=pDl
不相同，此即应力的点的概念。
材料力学
应力
指明
哪一个面上
哪一点？
哪一点 哪个方向面？
二、一点的应力状态
过一点不同方向面 上应力的集合，称 之为这一点的应力 状态。
就是研究一点处沿各个不同方位的截 面上的应力及其变化规律。
三、单元体：单元体——围绕被研究点截取一尺寸为无限小
的正六面体。
单元体的性质——a、各表面上应力均匀分布；
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
s
1 2
(s
x
s
y
)
1 2
(s
x
s
y
) cos
2
t
xy
sin
2
t
1 2
(s
x
s
y
) sin
2
t
xy
cos
2
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
s
1 2
(s
x
s y)
1 2
(s
x
s y ) cos 2
t xy
sin
2
ds d
(s x
s y ) sin
利用三角函数公式
{cos2 1 (1 cos 2 ) 2 sin2 1 (1 cos 2 ) 2
2sin cos sin2
并注意到 t yx t xy 化简得
s
1 2
(s
x
s y)
1 2
(s
x
s y ) cos 2
t xy
sin
2
t
1 2
(s
x
s y ) sin
2
t xy
cos 2
在受力构件中任意一点，必定存
在三个相互垂直的主平面，因此
x 在每一点处必有三个主应力，以
s1，s2 和 s3 表示，且规定
s1
s1s2 s3
s3
三向应力状态
三个主应力都不为零的应力状态。 s2 s1
二向应力状态
一个主应力为零的应力状态。
s3
单向应力状态
一个主应力不为零的应力状态。
sx B sx
tzx
2 0
s
2t xy x s
y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
s max
sx
s
2
y
1 2
sx
s y
2
4t
2 xy
s min
sx
s y
2
1 2
sx
s y
2
4t
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
4. 切应力极值和方向
2
2t xy cos 2
设α＝α0 时，上式值为零，即
(s x s y ) sin 20 2t xy cos 20 0
2(σx
σy 2
) si
n
2
α0
τx
yc
os
2
α0
2τα0
0
即α＝α0 时，切应力为零
s
1 2
(s
x
s y)
1 2
(s
x
s y ) cos 2
t xy
sin
2
tan