2019北京海淀区初三一模数学试卷及答案数 学 2019．05一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是A．90° B．60° C．45° D．30° 2x 的取值范围是A ．1xB ．1xC ．1xD ．1x3．实数a b c ，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若ab ，则下列结论中错误．．的是 A ．0a b B ．0a c C ．0b cD ．0ac4．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为A ．45°B ．60°C ．72°D ．90°5．2019年2月，美国宇航局（NASA ）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿．尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林．已知亚马逊雨林的面积为6 560 000km 2，则过去20年间地球新增植被的面积约为A ．66.5610km 2B ．76.5610km 2C ．7210km 2D ．8210km 26．如果210a ab ，那么代数式222a b abaa ba的值是A ．1B ．1C ．3D ．37．下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化．abc（以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告（2019）》） 根据统计图提供的信息，下列推断合理的是A ．2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上B ．2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C ．2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D ．2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加8．如图1，一辆汽车从点M 处进入路况良好的立交桥，图2反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系．根据图2，这辆车的行车路线最有可能是图1图2AB2015-2018年巡游出租车与网约出租车客运量统计图网约出租车客运量（亿人次）巡游出租车客运量（亿人次）路程（米）速度（千米/时）100200300400500600700800102030405060OC D二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．右图为某几何体的展开图，该几何体的名称是 ．10．下图是北京故宫博物院2018年国庆期间客流指数统计图（客流指数是指景区当日客流量与2018年10月1日客流量的比值）．根据图中信息，不考虑其他因素，如果小宇想在今年国庆期间游客较少时参观故宫，最好选择10月 日参观．11．右图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为()61-，，表示中堤桥的点的坐标为()12，时，表示留春园的点的坐标为 ．12．用一组a ，b 的值说明命题“若a b ，则22a b ”是错误的，这组值可以是a = ，b = ．13．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点．若=20CAB °，则D = °．(第13题图) （第14题图）14．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CD 的延长线上一点，连接BE 交边AD 于点F ．若AB =4，BC =6，DE =2，则AF 的长为 ． 15．2019年2月，全球首个5G 火车站在上海虹桥火车站启动．虹桥火车站中5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍．在峰值速率下传输8千兆数据，5G 网络比4G 网络快720秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 千兆数据，依题意，可列方程为 ．DCBAOFD B16．小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小宇在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为 元．三、解答题（本题共68题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：04sin 60(π1)1231．18．解不等式组：512(1)324x x x x ，．19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使PQ ∥l ． 作法：如图，① 在直线l 上取一点O ，以点O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线l 于A ，B 两点； ② 连接PA ，以B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点Q ； ③ 作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接PB ，QB ，lPl∵ PA =QB ， ∴ PA _____，∴ ∠PBA =∠QPB （____________________）（填推理的依据）， ∴ PQ ∥l （____________________）（填推理的依据）．20．关于x 的一元二次方程220ax ax c ．（1）若方程有两个相等的实数根，请比较a c ，的大小，并说明理由； （2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=2CD ，E 为对角线AC 的中点，F 为边BC 的中点，连接DE ，EF ． （1）求证：四边形CDEF 为菱形； （2）连接DF 交EC 于G ，若2DF ，53CD，求AD 的长． 22．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，在⊙O 的切线CM 上取一点P ，使得∠CPB =∠COA ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若43AB ，CD =6，求PB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b =+经过点A （1，m ），B （1-，1-）．（1）求b 和m 的值；（2）将点B 向右平移到y 轴上，得到点C ，设点B 关于原点的对称点为D ，记线段BC 与AD 组成的图形为G ．① 直接写出点C ，D 的坐标； ② 若双曲线ky x=与图形G 恰有一个公共点，结合函数图象，求k 的取值范围． 24．如图，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP 于点Q ．已知7AB cm ，设A P ，两点间的距离为x cm ，A Q ，两点间的距离为1y cm ，P Q ，两点间的距离为2y cm ．AM小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（212，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30°时，AP 的长度约为 cm ．25．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050x ，5060x ，6070x ，7080x ，8090x ，90100x ）：b ．甲学校学生成绩在8090x 这一组的是：80808181.582838384频数(学生人数)/分85 86 86.5 87 88 88.5 89 89c ．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：（1）甲学校学生A ，乙学校学生B 的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是______（填“A ”或“B ”）； （2）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_______________（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）； （3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生才可以入选． 26． 在平面直角坐标系x O y 中，抛物线2yax bx c (0)a 经过点(03)A ，和(30)B ，．（1）求c 的值及a b ，满足的关系式；（2）若抛物线在A ，B 两点间，从左到右上升，求a 的取值范围；（3）结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点(1)(4)M m n N m n ，，，？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n 的值；若不能，请说明理由．27．如图，在等腰直角△ABC 中，90ABC °，D 是线段AC 上一点（2CA CD ），连接BD ，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ． （1）依题意补全图形；（2）若ACE α，求ABD 的大小（用含α的式子表示）； （3）若点G 在线段CF 上，CG BD ，连接DG ．①判断DG 与BC 的位置关系并证明； ②用等式表示DG ，CG ，AB 之间的数量关系为 ．28．对于平面直角坐标系xOy 中的直线l 和图形M ，给出如下定义：12-1n n P P P P ，，，，是图形M 上的(3)n n个不同的点，记这些点到直线l 的距离分别为12-1n n d d d d ，，，，，若这n 个点满足12-1+++=n n d d d d ，则称这n个点为图形M 关于直线l 的一个基准点列，其中n d 为该基准点列的基准距离．（1）当直线l 是x 轴，图形M 上有三点(11)A ，，(11)B ，，(02)C ，时，判断A B C ，，是否为图形M 关于直线l 的一个基准点列？如果是，求出它的基准距离；如果不是，请说明理由；（2）已知直线l 是函数33yx 的图象，图形M 是圆心在y 轴上，半径为1的⊙T ，12-1n n P P P P ，，，，是⊙T 关于直线l 的一个基准点列．①若T 为原点，求该基准点列的基准距离n d 的最大值；②若n 的最大值等于6，直接写出圆心T 的纵坐标t 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）9．圆柱 10．7 11．（9，1） 12．1，2（答案不唯一）13．11014．415．8872010x x16．54三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28题，每小题7分） 17．（本小题满分5分）解：原式=3412331（）18．（本小题满分5分）解：原不等式组为512(1)324x x xx ，．①②解不等式①，得1x ． 解不等式②，得2x ．∴原不等式组的解集为12x ．19．（本小题满分5分）（1）补全的图形如图所示：（作弧交半圆于Q 点1分，直线PQ 1分）（2）QB ，等弧所对的圆周角相等， 内错角相等，两直线平行． 20．（本小题满分5分）解：（1）依题意可知，00a ≠∆=，．l∴4()0a a c．∴a c．（2）∵方程有一个根是0，∴0c．∴220ax ax，即(2)0ax x．∴方程的一个根为2x．21．（本小题满分5分）（1）证明：∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB，12EF AB=，12CF BC=．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∵AB=2CD，∴EF=CD．∴四边形CDEF是平行四边形．∵AB=BC，∴CF=EF．∴四边形CDEF是菱形．（2）解：∵四边形CDEF是菱形，2DF=，∴DF⊥AC，112DG DF==．在Rt△DGC中，53CD=，可得43CG=．∴43EG CG==，823CE CG==．∵E为AC中点，∴83 AE CE==．∴4AG AE EG=+=．在Rt△DGA中，AD==．A22．（本小题满分5分）（1）证明：∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥PC．∴∠OCP=90°．∵∠AOC=∠CPB，∠AOC+∠BOC=180°，∴∠BOC+∠CPB=180°．在四边形PBOC中，∠PBO=360°-∠CPB-∠BOC-∠PCO=90°．∴半径OB⊥PB．∴PB是⊙O的切线．（2）解法1：连接OP，如图．∵AB是⊙O的直径，AB=∴12OC OB AB===∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴132CE CD==．在Rt△CEO中，sinCECOECO∠==．∴∠COE=60°．∵PB，PC都是⊙O的切线，∴∠CPO=∠BPO，∠OCP=∠OBP．∴∠COP=∠BOP=60°．∴PB= OB· tan60°= 6．解法2：连接BC，如图．∵AB是⊙O的直径，AB=∴12OC AB==．∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴132CE CD==．在Rt△CEO中，sinCECOECO∠==．∴∠COE=60°．∴∠CPB=∠COE=60°，1302ABC COE∠=∠=︒．∴BC=2CE= 6．∵PB，PC都是⊙O的切线，∴PB=PC．∴△PBC为等边三角形．∴PB=BC= 6．23．（本小题满分6分）（1）∵直线2y x b=+经过点A（1，m），B（1-，1-），∴1b．又∵直线2y x b=+经过点A（1，m），∴3m=．（2）①C（0，1-），D（1，1）．②函数kyx的图象经过点A时，3k=．函数kyx的图象经过点D时，1k=，此时双曲线也经过点B，结合图象可得k 值得范围是0113k k <<<≤或．24．（本小题满分6分） 解：本题答案不唯一，如： （1）（2）（3）5.49或2.50． 25．（本小题满分6分）解：（1）A ． （2）乙．理由：甲校优秀率40%，低于乙校，说明乙校综合展示水平优秀人数更多；通过图表，估计甲校平均数为79，低于乙校，说明乙校整体水平高于甲校;甲校中位数为81.25，乙校为84，说明乙校综合展示水平一半的同学高于84分，而甲校一半同学的综合展示水平仅高于81.25.综合以上三个（两个）理由，说明乙校的综合素质展示水平更高.（3）88.5．26．（本小题满分6分）解：（1）由题意可得3093c a b c -=⎧⎨=++⎩，．∴3c =-，310a b +-=．（2）由（1）可得2(13)3y ax a x =+-- (0)a >．∵抛物线在A B ，两点间，从左到右上升， ∴3102a a-≤． ∵0a >，∴310a -≤，即103a <≤． （3）抛物线不能经过点(1)(4)M m n N m n -+-，，，．理由如下：若抛物线经过(1)(4)M m n N m n -+-，，，，则抛物线的对称轴为32x =． 由抛物线经过点A ，可知抛物线经过点（3，3-），与抛物线经过点B （3，0）矛盾． 所以抛物线不能经过点(1)(4)M m n N m n -+-，，，．27．（本小题满分7分）（1）补全图形，如图．（2） 解：∵ AB =BC ，∠ABC =90°，∴ ∠BAC =∠BCA =45°． ∵ ∠ACE =α， ∴ 45ECB α．∵ CF ⊥BD 交BD 的延长线于点E ， ∴ ∠BEF =90°． ∴ ∠F +∠ABD =90°． ∵ ∠F +∠ECB =90°， ∴45ABDECB α．（3）① DG 与BC 的位置关系：DG ⊥BC ．证明：连接BG 交AC 于点M ，延长GD 交BC 于点H ，如图．∵ AB =BC ，∠ABD =∠ECB ，BD =CG ， ∴ △ABD ≌△BCG ． ∴ ∠CBG =∠BAD =45°． ∴ ∠ABG =∠CBG =∠BAC =45°． ∴ AM =BM ，∠AMB =90°． ∵ AD =BG ， ∴ DM =GM ．∴ ∠MGD =∠GDM =45°． ∴ ∠BHG =90° ∴ DG ⊥BC ．②2222CG DG AB ．28．（本小题满分7分）解：（1）是．∵(11)A ，，(02)B ，，(11)C ，到x 轴的距离分别是1，1，2，且1+1=2， ∴这三点为图形M 关于直线l 的一个基准点列，它的基准距离为2． （2）① ∵12-1n n P P P P ，，，，是⊙T 关于直线l 的一个基准点列， ∴12-1+++=n n d d d d ．∴n d 的最大值为⊙T 上的点到直线l 的最大距离．当T 为原点时，过O 作OH ⊥l 与点H ，延长HO 交⊙O 于点F ，则FH 的长度为n d 的最大值． 设函数33yx 的图象与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ，则0)D ，(03)E ，．∴3OD ，3OE ，∠DOE =90°．∴∠OED =30°． 又∵∠OHE =90°， ∴1322OHOE ．∴52FH． 例如，⊙O 上存在点1234P P P P ，，，满足123413552442d d d d ====，，，．∴n d 的最大值为52． ②圆心T 的纵坐标t 的取值范围为105t或2965t ．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。