2022高考数学（理）一轮复习单元测试（配最新高考＋重点）第九章解析几何第九章解析几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、（2020陕西理）已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则（ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能2 ．（2020浙江理）设a ∈R,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 ．【2020厦门期末质检理】直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于A .2 B . 2 C .22 D . 44、【2020宁德质检理4】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>4，则双曲线的焦距等于 （ ）A．B．C．D．5、（2020新课标理）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB =则C 的实轴长为（ ）AB．C ．4D ．86．（2020湖南理）已知双曲线C :22x a -22y b =1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为 （ ）A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =17、【2020海南嘉积中学期末理】设椭圆22221(0)x y abab 的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆上的一点，21AF AF ,原点O 到直线1AF 的距离为112OF ，则椭圆的离心率为（ ） A 、13B 、31C 、22D 、219、【20203230x y 与圆22:4O x y 交于A 、B两点，则OA OB（ ）A 、2B 、-2C 、4D 、-410、【2020黑龙江绥化市一模理】若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.611．过点P (x ，y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0) C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 12、（2020山东理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为3.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 （ ）A ．22182x y += B ．221126x y += C ．221164x y += D ．221205x y +=二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．【2020粤西北九校联考】点)1,2(-P 为圆25)3(22=+-y x 的弦的中点，则该弦所在直线的方程是__ __; 14、（2020江西理）椭圆22221x y a b +=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 15、（2020北京理）在直角坐标系xoy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________.16、【2020 浙江瑞安期末质检理】设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,假如直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ▲ .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)【山东省青岛市2020届高三期末检测】已知圆1C的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线1:l 0x y --=相切.(Ⅰ) 求圆的标准方程； （Ⅱ）设点0,0()A x y 为圆上任意一点,AN x ⊥轴于N ,若动点Q 满足OQ mOA nON =+,(其中1,,0,m n m n m +=≠为常数),试求动点Q 的轨迹方程2C ；18. (本小题满分12分) （2020广东理）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.19．(本小题满分12分) （2020北京理）已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈(1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆,求m 的范畴;(2)设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证:A,G,N 三点共线.20．(本小题满分12分) 【广东省肇庆市2020届高三第二次模拟理】已知点P 是圆F 1：16)3(22=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴的两个左右交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得HK =KQ ，连结AQ 延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．21．(本小题满分12分) (安徽省合肥一中2020届高三下学期第二次质量检测理科)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率2e =的点到焦点的最短距离为21-直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB 3AP =.（1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范畴．22．(本小题满分12分) （2020年海淀区高三期末考试理19）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由.祥细答案一、选择题 1、【答案】A解析: 22304330+-⨯=-<,因此点(3,0)P 在圆C 内部,故选A.2、 【答案】A【解析】当a =1时,直线l 1:x +2y -1=0与直线l 2:x +2y +4=0明显平行;若直线l 1与直线l 2平行,则有:211a a =+,解之得:a =1 or a =﹣2.因此为充分不必要条件.3、【答案】B【解析】求圆的弦长利用勾股定理，弦心距232,4,3,2222-=+===l l d r r d =2，选B; 4、【答案】A4，因此⎪⎩⎪⎨⎧==2542a c a ，522,5==c c5、【答案】C【解析】设222:(0)C x y a a -=>交xy 162=的准线:4l x =-于(4,A-(4,B --得:222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=6、 【答案】A【解析】设双曲线C :22x a -22y b =1的半焦距为c ,则210,5c c ==.又C 的渐近线为b y x a =±,点P (2,1)在C 的渐近线上,12b a∴=,即2a b =.又222c a b =+,a ∴==,∴C 的方程为220x -25y =1.7、【答案】B【解析】由条件得21,,2(1,1AF c AF a c e ====8、【解析】选C设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =;则点A 到准线:1l x =-的距离为3得:1323cos cos 3θθ=+⇔= 又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+AOB ∆的面积为113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=9、【答案】A230y 与圆22:4O x y 交于A （1，），B （2，0），OA OB210、【答案】C【解析】直线260ax by ++=过圆心C （-1,2），03=--b a ，当点M (,)a b 到圆心距离最小时，切线长最短；2,2682)2()1(222=+-=-++=a a a b a MC 时最小，1-=b ，现在切线长等于4； 11、答案 D解析 设Q (x ，y )，则P (－x ，y )，由BP →＝2P A →，∴A (－32x,0)，B (0,3y )．∴AB →＝(32x,3y )．从而由OP →·AB →＝(x ，y )(32x,3y )＝1. 得32x 2＋3y 2＝1其中x >0，y >0，故选D. 12、【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23,因此23==a c e ,2243a c =,222243b a a c -==,因此2241a b =,即224b a =,双曲线的渐近线为x y ±=,代入椭圆得12222=+bx a x ,即1454222222==+b x b x b x ,因此b x b x 52,5422±==,2254b y =,b y 52±=,则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ,因此四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ,因此52=b ,因此椭圆方程为152022=+y x ,选D. 二、填空题13、【答案】01=-+y x【解析】点)1,2(-P 为圆25)3(22=+-y x 的弦的中点，则该弦所在直线与PC 垂直，弦方程01=-+y x 14、【答案】5【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:1AF a c =-,122F F c =,1F B a c=+.又已知1AF ,12F F ,1F B成等比数列,故2()()(2)a c a c c -+=,即2224a c c -=,则225a c =.故5c e a ==.即椭圆的离心率15、【解析】由24y x =,可求得焦点坐标为(1,0)F ,因为倾斜角为60︒,因此直线的斜率为tan 60k =︒=,利用点斜式,直线的方程为y =-,将直线和曲线方程联立21(,34y A B y x⎧=⎪⎨⎪=⎩,因此11122OAFA S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=16、【答案】251+【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，因此215,1)(+=-=-⨯e cba b三、解答题17、解: (Ⅰ)设圆的半径为r ,圆心到直线1l 距离为d，则2d ==因此圆1C 的方程为224x y +=（Ⅱ）设动点(,)Q x y ,0,0()A x y ,AN x ⊥轴于N ,0(,0)N x由题意,000(,)(,)(,0)x y m x y n x =+，因此000()x m n x x y my =+=⎧⎨=⎩即:001x x y y m =⎧⎪⎨=⎪⎩，将1(,)A x y m 代入224x y +=,得222144x y m += 18、解析:(Ⅰ)因为e =,因此2223c a =,因此223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ,则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭(b y b -≤≤).当01b <<时,2PQ在y b =-时取到最大值,且最大值为244b b ++,由2449b b ++=解得1b =,与假设01b <<不符合,舍去. 当1b ≥时,2PQ在1y =-时取到最大值,且最大值为236b +,由2369b +=解得21b =.因此23a =,椭圆C 的方程是2213x y +=.(Ⅱ)圆心到直线l的距离为d =,弦长AB =,因此OAB ∆的面积为12S AB d =⋅=,因此()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点,因此2213m n +=,即2233m n =-,因此22221132d m n n ==+-,而11n -≤≤,因此201n ≤≤,21323n ≤-≤,因此2113d ≤≤,因此当212d =时,2S 取到最大值14,现在S 取到最大值12,现在212n =,232m =.综上所述,椭圆上存在四个点22⎫⎪⎪⎝⎭、22⎛- ⎝⎭、22⎛ ⎝⎭、22⎛ ⎝⎭,使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大,且最大值为12.19、【解析】(1)原曲线方程可化简得:2218852x y m m +=--,由题意可得:8852805802m m m m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩,解得:752m <<(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:22(21)16240k x kx +++=,2=32(23)k ∆-,解得:232k >由韦达定理得:21621M N k x x k +=+①,22421M N x x k =+,②设(,4)N N N x k x +,(,4)M M M x kx +,(1)GG x ， MB 方程为:62M M kx y x x +=-,则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，, ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，,()2N N AN x x k =+，,欲证A G N ，，三点共线,只需证AG ,AN 共线即3(2)6MN NM x x k x x k +=-+成立,化简得:(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立,则A G N ，，三点共线得证. 20、解：（1）由题意得，())12,F F （1分）圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = （2分）从而12112||||||||4||MF MF MF MP F F +=+=>= （3分）∴ 点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆,其中长轴24a =,焦距2c =则短半轴1b =， （4分） 椭圆方程为:2214x y += （5分）（2）设()00,K x y ，则220014x y +=．∵HK KQ =，∴()00,2Q x y ．∴2OQ == （6分） ∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．(7分) 又()2,0A -，∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． (8分)令2x =，得0082,2y D x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． (9分)又()2,0B ，N 为DB 的中点，∴0042,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． (10分)∴()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． (11分)∴()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++()()0000220x x x x =-+-=． (13分) ∴OQ NQ ⊥．∴直线QN 与圆O 相切. (14分)21、解：（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2，由条件知a-c ＝22，c a ＝22，∴a ＝1，b ＝c ＝22 故C 的方程为：y 2＋x 212＝1（2）当直线斜率不存在时：12m =±当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 ∴Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，① x 1x 2＝m 2－1k 2＋2 ② ∵AP ＝3PB →∴－x 1＝3x 2 ③由①②③消去x 1，x 2，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0……9分整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， ∴k 2＝2－2m 24m 2－1≥0，∴211-<≤-m 或121≤<m 把k 2＝2－2m 24m 2－1代入（*）得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m ……11分,综上m 范畴为112m -<≤-或112m ≤< 22、解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c .由题意可知：1b，32ca . 因此24a .因此，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y .（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-.因为1AQ BQ k k ⋅=-，因此 AQ BQ .因此2AQB π∠=.（ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠. 由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5在椭圆C 的内部，明显0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116()5y k x =+，226()5y k x =+，因此1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k=++++++2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 因此QA QB ⊥.因此 QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA=取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB .记点6(,0)5为N . 另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520Mx x k k x k k ， 因此 点M 的纵坐标266()5520M Mky k x k .因此222221016666(,)(,)520520520520k k kQM NMk k k k222601320(520)k k .因此QM 与NM 不垂直，矛盾.因此 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB 为等腰三角形.。