周周测13解析几何综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l 的距离相等，则直线l的方程为()A．3x－2y－4＝0B．x＝2或3x－2y－4＝0C．x＝2或x－2y＝0D．x＝2或3x－2y－8＝0答案：B解析：解法一当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，因为P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝32，则直线l的方程为3x－2y－4＝0，故选B.解法二由题意知，所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点或过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行．当所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行时，由k PQ＝－4－20－4＝32，得直线l的方程为y－1＝32(x－2)，即3x－2y－4＝0.2．[2019·大连模拟]直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为()A．6 B．3C．6 2 D．3 2答案：A解析：假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB.∵圆的半径r＝10，圆心到直线的距离d＝5(－3)2＋42＝1，∴弦长|AB|＝2×r2－d2＝210－1＝2×3＝6.故选A.3．[2019·河北衡水武邑中学月考]若直线l ：mx ＋ny －m －n ＝0(n ≠0)将圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝4的周长分为两部分，则直线l 的斜率为( )A ．0或32B ．0或43C ．－43 D.43答案：B解析：由题意知直线l 将圆分成的两部分中劣弧所对圆心角为2π3，又圆心为(3,2)，半径为2，则圆心到直线的距离为1，即|3m ＋2n －m －n |m 2＋n2＝1，解得m ＝0或m n ＝－43，所以直线l 的斜率为k ＝－m n ＝0或43，故选B.4．一个圆经过点(0,1)，(0，－1)和(2,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254 答案：C解析：由题意可得圆经过点(0,1)，(0，－1)和(2,0)，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝r 2，(2－a )2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.5．[2018·全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22 D.223答案：C解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝22，∴e＝ca＝222＝22.6．[2019·长春监测]已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝() A．1 B．2C．4 D.12答案：A解析：如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A.7．[2019·重庆二调]已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是() A．6 B．5C．4 D．3答案：A解析：由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P 作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A.8．[2019·海口模拟]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B. 2C.322 D ．2 2答案：C解析：由题意知x A >x B >0.设∠AFx ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ⇔cos θ＝13.又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，所以△AOB 的面积S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322. 9．[2019·湖北四地七校联考]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过点F 1及虚轴的一个端点，且点F 2到直线l 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( )A.1＋52B.3＋54C.1＋52D.3＋52答案：D解析：设虚轴的一个端点为B ，则S △F 1BF 2＝12×b ×2c ＝12×a ×b 2＋c 2，即b ×2c ＝a ×b 2＋c 2，(c 2－a 2)4c 2＝a 2(－a 2＋2c 2)，4e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋54或e 2＝3－54(舍去)，e ＝3＋52.故选D. 10．[2019·辽宁五校联考]一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB→＝2AG →，则(OA →－OB →)2－4OG→2的最大值为( ) A ．24 B ．16C ．8D ．－16答案：B解析：由AB →＝2AG →知G 是线段AB 的中点，∴OG →＝12(OA →＋OB→)，∴(OA →－OB →)2－4OG →2＝(OA →－OB →)2－(OA →＋OB →)2＝－4OA →·OB→.由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∴－4OA →·OB →＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋x 21x 2216＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22－4＝16－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22≤16，即(OA →－OB →)2－4OG →2的最大值为16，故选B.11．[2019·安徽皖南八校联考]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.若在直线x ＝2a 上存在点P 使得线段PF 1的垂直平分线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 答案：B解析：∵直线x ＝2a 上存在点P 使线段PF 1的垂直平分线过点F 2，∴根据垂直平分线的性质以及直角三角形的性质可得，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ≥2a －c ，∴2a ≤3c ，∴e ≥23.又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.故选B. 12．[2019·长沙模拟]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为( )A ．2B ．3 C. 3 D. 6答案：B解析：由题意知，e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝2⇒b 2＝3a 2，则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x ，y )，则B (－m ，－n )，k 1·k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3.故选B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2019·湖南衡阳模拟]直线l 过点A (1,1)，且l 在y 轴上的截距的取值范围为(0,2)，则直线l 的斜率的取值范围为________．答案：(－1,1)解析：设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，令x ＝0，可得y ＝1－k ，∵直线l 在y 轴上的截距的取值范围是(0,2)，∴0<1－k <2，∴－1<k <1.14．[2019·泰安调研]已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．答案：25π解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π. 15．双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到焦点(5,0)的距离是172，则点P 到另外一个焦点的距离是________．答案：332解析：点P 到点(5,0)的距离是172<5＋4，所以点P 只能在与焦点(5,0)同侧的一支上，设点P 到另外一个焦点的距离为d ，则d －172＝8，解得d ＝332. 16．[2019·辽宁联考]设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案：15解析：在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3，所以焦点坐标分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋(2a －|PF 2|)＝10＋(|PM |－|PF 2|)．∵|PM |－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号，∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |－|PF 2|)max ＝(6－3)2＋(4－0)2＝5，此时得|PM |＋|PF 1|的最大值，为10＋5＝15.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)[2019·湖北宜城一中月考]△ABC 的一个顶点为A (2,3)，两条高所在直线方程为x －2y ＋3＝0和x ＋y －4＝0，求△ABC 三边所在直线的方程．解析：因为点A 不在两条直线上，所以不妨设直线x －2y ＋3＝0和x ＋y －4＝0是分别经过点B 和点C 的高线，∴由垂直关系可得AB 的斜率为1，AC 的斜率为－2.∵AB 和AC 都经过点A (2,3)，∴AB 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0，AC 的方程为y －3＝－2(x －2)，即2x ＋y －7＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即B (1,2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即C (3,1)，∴BC 的斜率为2－11－3＝－12，∴BC 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)求两圆公共弦长；(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程．解析：(1)两圆方程相减得x －2y ＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线方程．又圆C 1的圆心C 1(1，－5)到公共弦的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35，圆C 1的半径r 1＝50＝52，由d 2＋(L 2)2＝r 21(L 为公共弦长)，得L ＝2r 21－d 2＝25，即公共弦长为2 5.(2)直线C 1C 2的方程为2x ＋y ＋3＝0，直线C 1C 2与相交弦所在直线x －2y ＋4＝0的交点为(－2,1)，即为所求圆的圆心．又因为所求圆的半径为L 2＝5，所以以相交弦为直径的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M .(1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；(2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．解析：(1)∵抛物线C ：y 2＝2px (x >0)的焦点为F (1,0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，∴p ＝2，M (0,1)．若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为x ＝0，满足题意． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ， 得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 当k ＝0时，x ＝14.满足题意，方程为y ＝1.当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，解得k ＝1，方程为y ＝x ＋1.综上，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4.∴△OAB 的面积S ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12×1×16＋16＝2 2.20．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .解析：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0， 可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为kBM ＋kBN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).① 将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k＝－8＋8k ＝0.所以kBM ＋kBN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .21．(本小题满分12分)[2018·天津卷]设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ， 可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以，k 的值为－12.22．(本小题满分12分)[2019·河北衡水月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且以两焦点为直径的圆的内接正方形的面积为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD 的斜率之和k AD ＋k BD 为定值？若存在，求出点D 坐标及该定值；若不存在，试说明理由．解析：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，2c sin π4＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝c 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0. 由Δ＝64k 2－24(1＋2k 2)＝16k 2－24>0，解得k <－62或k >62.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝61＋2k 2. 设存在点D (0，m )满足题意，则k AD ＝y 1－m x 1，k BD ＝y 2－m x 2， 所以k AD ＋k BD ＝y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)x 1x 2＝2kx 1x 2＋(2－m )(x 1＋x 2)x 1x 2＝6k －4k (2－m )3. 要使k AD ＋k BD 为定值，只需6k －4k (2－m )＝6k －8k ＋4mk ＝2(2m －1)k 与参数k 无关，故2m －1＝0，解得m ＝12.当m ＝12时，k AD ＋k BD ＝0. 综上所述，存在点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使得k AD ＋k BD 为定值，且定值为0.。