圆锥曲线的几何性质一、选择题（''6636⨯=）1..设22221(0)x y a b a b +=>>为黄金椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠=（ ） A ，60B ，75C ，90D ，1202.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点为F ，右准线为l ，一直线交双曲线于P ，Q两点，交l 于R 点，则（ ）A ，PFR QFR ∠>∠B ，PFR QFR ∠=∠C ，PFR QFR ∠<∠D ，PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线24y x =+上两点B 、C ，使得AB BC ⊥，当点B 在抛物线上移动时，点C 的纵坐标的取值范围是 （ ）A ，(,0][4,)-∞+∞B ，(,0]-∞C ，[4,)+∞D ，[0,4,]4.设椭圆方程2213x y +=，(0,1)A -为短轴的一个端点，M ，N 为椭圆上相异两点。

若总存在以MN 为底边的等腰AMN ∆，则直线MN 的斜率k 的取值范围是 （ ） A ，(1,1)- B ，[1,1]- C ，(1,0]- D ，[0,1]5.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ，(1,)+∞B ，(1,2] C， D ，(1,3] 6.已知P 为抛物线24y x =上一点，记P 到此抛物线的准线的距离为1d ，P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 （ ）图1图2A ，B ，5C ，15+ D ，不存在 二、填空题（''9654⨯=）7.设双曲线226x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为双曲线右支上一点，且2PA x ∠=1310PA x ∠+，则1PAx ∠的度数是 。

8.如图1，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，P 为椭圆上一点， PQ l ⊥于点Q 。

若四边形12PQF F 为平行四边形， 则椭圆离心率e 的取值范围是 。

9.圆心在x 轴上，半径为1的动圆与抛物线22y x =相交，交点处的切线互相垂直，动圆的圆心坐标是 。

10.已知直线(5)tan (0,)2y x πθθπθ=-<<≠且与双曲线221169x y -=的两条准线交于 A ，B 两点。

若OA OB ⊥，则sin θ= 。

11.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，PQ 是过左焦点F 且与x 轴不垂直的弦。

若在左准线l 上存在点R ，使PQR ∆为正三角形，则椭圆离心率e 的取值范围是 。

12.设点B 、C 分别在第四、第一象限，且点B 、C 都在抛物线22(0)y px p =>上，O 为坐标原点，30,60OBC BOC ∠=∠=，k 为直线OC 的斜率，则32k k +的值为 。

三、解答题（''20360⨯=）13．如图2，给定椭圆22221x ya b+=和圆2222(0)x y a b a b +=+>>，CD 为圆的任一 条直径，CD 交椭圆于P 点，在CD 的一侧， 以P 为圆心，1PF 为半径画弧交圆于点A ；在CD 的另一侧，以P 为圆心，2PF 为半径画弧交圆于点B ，求证：A 、P 、B 三点共线.图314.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，AB 为抛物线的焦点弦，点M 在抛物线上，O 为坐标原点。

求证：（I ）直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列； （II ）当MA MB ⊥时，MFO BMF AMF ∠=∠-∠.15.如图3，A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和双曲线22221x y a b-=的公共顶点.P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()AP BP AQ BQ λ+=+(,1)R λλ∈>.设直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是12,k k ，34,k k .(I)求证：12340k k k k +++=；（II ）设12,F F 分别为椭圆和双曲线的右焦点；若21//PF QF ，求22221234k k k k +++的值.参考答案： 一、1.C由c a =，得220a ac c --=， 而222222222()()2()0AB BF FA a b a a c a ac c +-=++-+=--=，知90ABF ∠=2.B 设l 为双曲线的右准线，作'',PP l QQ l ⊥⊥，由三角形相似有''PP PR RQQQ =.由双曲线定义得，''PF QF e PPQQ==。

所以PR PF RQQF=，知FR 平分PFQ ∠。

3.A 设211(4,)B y y -、2(4,)C y y -，显然2140y -≠。

又121121,42AB y k y y -==-+且AB BC ⊥，得1(2)BC k y =-+.由21112(2)[(4)]4y y y x y y x ⎧-=-+--⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得211(2)(21)0y y y y ++++=. 由0∆≥，得0y ≤或4y ≥。

4.A 设MN ：y kx b =+，代入2213x y +=，得222(13)6330k x kbx b +++-=. 由0∆>，得2213b k <+.又由AM AN =，得121212()()(2)x x x x y y +-+++12()0y y -=.因为1212()y y k x x -=-，12122()22y y k x x b ++=+++，所以212(1)()2(1)0k x x k b ++++=，将122613kbx x k+=-+代入， 得2213b k =+，代入2213b k <+，得21k <，于是11k -<<.5.D 222122222(2)44448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +==++≥+=，当且仅当2224a PF PF = 即22PF a =时取等号。

这时14PF a =.由1212PF PF F F +≥，得62a c ≥， 即3ce a=≤，得(1,3]e ∈. 6.B 设2(,2)P t t，则2121d d t +=++(1)当6t ≤-或2t ≥时，212(11d d t +=++-.所以当2t =时， 12min ()5d d +=.(2)当62t -<<时，212(1d d t +=+，所以当t =12min ()5d d +=.由（1），（2）知，12min ()d d +=二、7.20. 设00(,)P x y ，则22006x y -=.由1tan PA x ∠=2tan PA x ∠=201220tan tan 6y PA x PA x x ∠⋅∠=-=1于是2190PA x PA x ∠=-∠ ，由1231090PAx PA x ∠+=-∠ ，得120PA x ∠=. 8.1(,1)2. 设00(,)P x y ，则由12PQ F F =，得202a x c c +=，即202a x c c =-. 由0a x a -<<，得22a a c a c-<-<。

解得112c a <<，即1(,1)2e ∈.9. 设圆心为(,0)a ，则圆的方程为：22()1x a y -+=.设圆与抛物线的交点为 2(2,2)P t t ，则22(2)41t a t -+=。

抛物线在点P 处的切线方程为222ty x t =+。

又上述直线与圆在点P 处的切线互相垂直，于是直线必过圆心(,0)a ，得22t a =-。

代入22(2)41t a t -+=，得24210a a --=。

解得a =（舍去正值）。

10.1625将直线与准线165x =±联立，求得169(,tan )55A θ-、1641(,tan )55B θ--。

由OA OB ⊥，得1616941()(tan )(tan )05555θθ⨯-+-⨯-=，即22sin 256cos 369θθ=， 解得16sin 25θ=。

11.(3设弦PQ 的中点为M ，过点P 、M 、Q 分别作左准线l 的垂线，垂足分别为 ''',,P M Q ，则'''111()()222MM PP QQ PF QF PQ e e=+=+=。

假设存在点R，则RM =，且'MM RM <，有3e >。

设BC 交x 轴于点A ，记AOC θ∠=，OC r =，则(cos ,sin )C r r θθ。

由60,30BOC OBC ∠=∠= ，知90OCB ∠=，2OB r =， 于是(2cos(60),2sin(60))B r r θθ-- 。

点B 、C 均在抛物线22y px =上，得2222sin 2cos 4sin (60)4cos(60)r pr r pr θθθθ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去,p r ，得3tan2tan θθ+=32k k +=三、解答题13.连结AP 交圆于点'B ，在圆中，由相交弦定理，在12PF F ∆中，由中线长公式，得22'()()PA PB PC PD OC PO OC PO OC PO ⋅=⋅=-⋅+=-=222221211(2)2a b PF PF OF +-+-=222212121[()22]2a b PF PF PF PF c +-+-⋅- =222212121[422]2a b a PF PF c PF PF +--⋅-=⋅。

又1PA PF =，有'2PB PF PB ==。

但以点P 为圆心，PB 为半径的圆与已知圆在CD 一侧的交点是唯一的（两圆的两个交点位于连心线的两侧），故'B 与B 重合。

因此，A 、P 、B 三点共线。

14. (1)设直线MA 、MF 、MB 的斜率分别为13,,k k k ，点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)2p M m -，直线AB ：2px ty =+。

由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y pty p --=。