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贵州省贵阳市第一中学2016届高三第五次月考数学(文)试卷 扫描版含答案

贵阳第一中学2016届高考适应性月考卷(五)文科数学参考答案第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)【解析】1.因为{|02}{|1}M x x N y y =<=≤,≤,所以(01]M N = ,,故选B . 2.因为2i (2i)ii i (2i)i i 1i i i iz ++=+=+=-++=- ,所以||z ==,故选A . 3.画出可行域如图1阴影部分所示,注意到x y *∈N ,, 在点(33),处取得最优解,所以min ()6x y +=,故选C . 4.7114146a a a a ==,于是414a a ,可以看成是方程2560x x -+= 的两个根,所以41423a a ==,或41432a a ==,.而10144a a q =,所以1014432a q a ==或1014423a q a ==,所以 10201032a q a ==或10201023a q a ==,故选A . 5.第一次执行循环体,12112i n S ===⨯,,;第二次执行循环体,11321223i n S ===+⨯⨯,,;第三次执行循环体,11143122334i n S ===++⨯⨯⨯,,,依此下去,第九次执行循环体,109i n ==,,11111111122334910223S⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11910⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1911010-=,故选C . 6.1212121111sin sin 122e e e e e e ⨯⨯⨯〈〉=〈〉=⊥∵,,∴,,∴,22231211||124e e ke k =+=+= ∴,图17.由已知中的三视图,圆锥母线l ==,圆锥的高2h ==,圆锥底面半径为2r ==,截去的底面弧的圆心角为120︒,底面剩余部分为22218πsin120π323S r r =+︒=,故余下部分几何体的体积为11816π2π3339V Sh ⎛==⨯+⨯=+ ⎝D .8.由题意()f x 是偶函数,且当0x ≥时,()f x 单调递增,所以由()(21)f x f x >-得(||)(|21|)f x f x >-,所以|||21|x x >-,22(21)x x >-,解得113x <<,故选A .9.由题意得,把函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到1πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象向右平移π3个单位,得到1ππ1sin sin 2362y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,令1π2x k k =∈Z ,,结合选项,得图象的一个对称中心为(00),,故选D .10.设正ABC △的中心为1O ,连接1O A ,11O O O C ,,∵1O 是正ABC △的中心,A B C ,,三点都在球面上,∴1O O ABC ⊥平面,结合1O C ABC ⊂平面,可得11O O O C ⊥,∵球的半径2R =,球心O 到平面ABC 的距离为1,得11O O =,∴在1Rt O OC △中,1O C ==,又∵E 为AB 的中点,ABC △是等边三角形,13cos302AE AO =︒=∴,∵过E 作球O 的截面,当截面与OE 垂直时,截面圆的半径最小,此时截面圆的半径32r =,可得截面面积为29ππ4S r ==,故选C . 11.由双曲线定义得:1224AF a AF a ==,,因此由余弦定理得:22224(6)(4)264cos6028c a a a a a c =+-⨯⨯⨯︒=⇒=,所以e =C .12.函数()12sin πf x x x =--的零点可以看作是函数()2sin πg x x =与直线1y x =-的交点的横坐标,由于直线1y x =-过点(10),,而()2sin πg x x =也关于点(10),对称,因此函数()2sin πg x x =与直线1y x =-的交点一定关于点(10),对称,作出它们的图象,如图2,当1x -≤时,12y x =--≤,当3x ≥时,12y x =-≥,因此它们交点在[13]-,上,当12x =-时,122g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 3122y x =-=->-,当52x =时,522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 3122y x =-=<,因此函数()2sin πg x x =与直线1y x =-在[10]-,上有两个交点,在[23],上有两个交点,又1x =也是它们的交点,所以,所求零点之和为2215⨯+=,故选B .第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)【解析】 13.110105610()5()02a a S a a +==+=,所以5600a a ><,,即数列{}n a 前5项和为最大值,所以5n =.14.由已知直线l 过点(12)M ,,点M 在圆内,1||1||2sin 22AB AB ACB r r∠==,因此要使ACB ∠最小,则||AB 取最小值,又AB 过点M ,因此M 为AB 中点,即CM AB ⊥,因为42131CM k -==-,图2所以1l k =-,所以l 的方程为2(1)y x -=--,即30x y +-=.15.由于此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k ,且设弦的两端点坐标为11()x y ,,22()x y ,,则22221122112424x y x y +=+=,,两式相减得12121212()()()()024x x x x y y y y +-+-+=. ∵121222x x y y +=+=,,∴121202y y x x --+=,∴12122y y k x x -==--,∴此弦所在的直线方程为12(1)230y x x y -=--+-=,即.16.1()220f x x m x '=+-≥对0x >恒成立,122x m x +∴≥,而12x x +≥,当且仅当12x x=,即x =时取等,2m ∴≤,m ∴. 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由cos cos a A b B =及正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =,又(0π)(0π)A B ∈∈,,,, 所以有A B =或π2A B +=, 又因为π3C =,得2π3A B +=,与π2A B +=矛盾, 所以A B =,因此π3B =. ………………………………………………………(6分)(Ⅱ)由题设得,在Rt PMB △中,sin 2sin PM PB PBM α=∠= ,在Rt PNB △中,πππsin sin 2sin 0333PN PB PBN PB PBA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∠=-∠=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,,所以π2sin 2sin sin 3PM PN αααα⎛⎫+=+-=+ ⎪⎝⎭π2sin 3α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为π03α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,所以ππ2π333α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,,从而有πsin 13α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦,即π2sin 2]3α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,于是,当ππ32α+=,即π6α=时,PM PN +取得最大值2.………………………………………………………………………(12分)18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)列联表补充如下:……………………………………………………………………………………(6分)(Ⅱ)根据上述列联表可以求得2220(51212)8.802614713K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,8.802 6.635>, 所以我们有99%的把握认为:人的脚的大小与身高之间有关系. …………(12分)19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明:如图3,取AE 中点M ,连接BM ,FM . 因为F 是DE 中点,∴FM 是ADE △的中位线, FM AD ∴∥且12FM AD =, 又BC AD ∥且12BC AD =, FM BC ∴∥且FM BC =,∴四边形FMBC 是平行四边形,CF MB ∴∥, CF ABE MB ABE CF ABE ⊄⊂∵平面,平面,∴∥平面.……………………(6分)(Ⅱ)解:如图3,取DH 中点N ,连接FN,EH ,∵F 是DE 的中点, FN EH ∴∥且12FN EH=, 由ABE △是等腰直角三角形,AE BE =, H 是AB 的中点,EH AB ⊥∴,ABCD ABE ⊥又平面平面,平面ABCD 平面ABE =AB ,EH ABE ⊂平面,EH ABCD ⊥∴平面, FN ABCD ⊥∴平面,DCH ADH BCH ABCD S S S S =--△△△梯形111=(12)21222⨯+⨯-⨯-⨯=图3111332DCH F DCH V S FN -=== △三棱锥∴.…………………(12分)20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设2l x my =-:,代入22y px =,得2240y pmy p -+=,(*)设1122()()A x y B x y ,,,,则121224y y pm y y p +==,,则221212244y y x x p ==. 因为12OA OB =,所以121212x x y y +=,即4412p +=,得2p =,所以抛物线的方程为24y x =. …………………………………………(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)(*)化为2480y my -+=. 121248y y m y y +==,,…………………………………………………………(6分)设AB 的中点为M ,则21212||2()444M AB x x x m y y m ==+=+-=-,①又12|||AB y y =-=,② 由①②得2222(1)(1632)(44)m m m +-=-,解得23m m ==,,所以直线l 的方程为20x ++=或20x +=. ……………………………(12分) 21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)()ln(e )x f x a =+∵是奇函数,()()f x f x -=-∴, 即ln(e )ln(e )x x a a -+=-+恒成立,2(e )(e )11e e 1x x x x a a a a a --++=+++=∴,∴,即(e e )0x x a a -++=恒成立,故0a =. ……………………………………………(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知方程2ln 2e ()x x x m f x =-+,即2ln 2e xx x m x=-+, 令212ln ()()2e xf x f x x x m x==-+,,则121ln ()x f x x-'=,当(0e]x ∈,时,11()0()f x f x '≥,∴在(0e],上为增函数; 当[e )x ∈+∞,时,11()0()f x f x '≤,∴在[e )+∞,上为减函数;∴当e x =时,1max 1()ef x =. 而2222()2e (e)e f x x x m x m =-+=-+-,当(0e]x ∈,时,2()f x 是减函数,当[e )x ∈+∞,时,2()f x 是增函数,∴当e x =时,22min ()e f x m =-. 故当21e e m ->,即21e e m >+时,方程无实根;当21e e m -=,即21e em =+时,方程有一个根;当21e e m -<,即21e e m <+时,方程有两个根. …………………(12分)22.(本小题满分10分)【选修4−1:几何证明选讲】(Ⅰ)证明:因为BD CD =,所以BCD CBD ∠=∠,因为CE 是圆的切线,所以DCE CBD ∠=∠,所以DCE BCD ∠=∠,所以2BCE DCE ∠=∠,因为EAC BCE ∠=∠,所以2EAC DCE ∠=∠. …………………………………(5分) (Ⅱ)解:因为BD AB ⊥,所以AC CD ⊥,AC AB =.因为BC BE =,所以BEC BCE EAC ∠=∠=∠,所以AC EC =,由切割线定理得2EC AE BE = ,即2()AB AE AE AB =- ,即2240AB AB +-=,解得1AB =-. ………………………………………(10分)23.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】解:(Ⅰ)圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=,又cos sin x y ρθρθ==,,所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. ………………………………………………(5分)(Ⅱ)设11()P ρθ,,则由1112cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩,,解得11π13ρθ=,=, ……………………(7分)设22()Q ρθ,,则由2222(sin )π3ρθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩,解得22π33ρθ=,=, ………(9分)所以||2PQ =. …………………………………………………………………(10分)24.(本小题满分10分)【选修4−5:不等式选讲】证明:(Ⅰ)21(1)(1)()()ab a b a b ab ac bc c a c b c +++=+++++=++,.000a b c >>>∵,,,10a +>∴≥,100b a c +>+>≥,≥,0b c +>≥,(1)(1)0a b ++>∴≥,当且仅当1a b ==时取“=”,()()a c b c ++≥a b c ==时取“=”, (1)(1)()()16a b a c b c abc ++++∴≥,当且仅当1a b c ===时取“=”,因此,当a b c +∈R ,,,有 2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥.……………………………………………(5分)(Ⅱ)3b c a a b c a b c +∈++=R ∵,,,∴≥,当且仅当a b c ==时取“=”, 36c b a b c a c b a a c b a b c a c b+++++++∴≥,∴≥, 因此,1113b c c a a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥, 即3b c a c a b a b c a b c+-+-+-++≥. ……………………………………………(10分)。

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